מודל הרוכסן לשכפול DNA – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הרחבה |
מ סידור נוסחאות |
||
שורה 65:
כדי למדל את ההתנהגות באזור זה תחילה נפתח לטור את מספר החוליות הפתוחות הממוצע. נשים לב כי המכנה של <math><n></math> מתאפס באזור הזה ולכן ניעזר בפיתוח לטור.
מ[[פיתוח טיילור]] לפי <math>x</math> סביב <math>x=1</math> עד סדר ראשון נקבל<div style="text-align: center;">
<math><n>=\frac{Nx^N}{x^N-1}-\frac{x}{x-1}\approx {1\over2}\left(N-1\right)+{1\over12}\left(N^2-1\right)\left(x-1\right)+\ldots</math>
</div>
כעת נניח כי <math>N\gg1</math> ונחלק ב-<math>N</math>:<div style="text-align: center;">
<math>{<n>\over N} \xrightarrow[N\gg1] {}{1\over2}+{N\over12}\left(x-1\right)+\ldots
</math>
</div>
נגדיר <math>x-1\equiv\xi</math> משום שיהיה נוח בהמשך להתייחס לאזור מעבר הפאזה כ- <math>\xi\ll1</math>. השיפוע באזור זה יהיה<div style="text-align: center;">
<math>{1\over N}{d<n>\over d\xi} \cong {N\over12}+\ldots
</math>
</div>
כלומר סך הכל קיבלנו שעבור <math>N\longrightarrow\infin</math> ו- <math>\xi\ll1</math> השיפוע אינסופי בנקודת המעבר וגם מספר החוליות הפתוחות הוא <math><n>\cong{1\over2}N</math>.
עבור <math>x\gg1</math> , נוכל לראות שמתקיים:<div style="text-align: center;">
<math><n>=\frac{N}{1-\left(\frac{1}{x}\right)^N}-\frac{x}{x-1}\cong N\left(1+\left(\frac{1}{x}\right)^N\right)-\left(1+y\right)\approx N-\frac{x}{x-1}=\left(N-1\right)-\frac{1}{x-1}=\left(N-1\right)-{1\over \xi}</math>
</div>
כאשר מזניחים את האיבר <math>\left(\frac{1}{x}\right)^N\ll1</math>.
=== טמפרטורת המעבר ===
ראינו כבר כי המעבר מתקיים בנקודה <math>x_c=1</math>, כלומר הטמפרטורה הקריטית של מעבר הפאזה היא הפיתרון למשוואה<div style="text-align: center;">
<math>G\exp\left(-{\epsilon\over\tau_c}\right)=1</math>
</div>
עבור <math>G=1</math>, למשוואה זו יש פיתרון רק בטמפרטורה אינסופית. לכן נקבל כי התנאי לקיום מעבר פאזה בטמפרטורה סופית הוא:<div style="text-align: center;">
<math>G=\exp\left({\epsilon\over\tau_c}\right)>1</math>
</div>
והטמפרטורה בה מתקיים מעבר הפאזה, <math>\tau_c</math>, היא:<div style="text-align: center;">
<math>\tau_c={\epsilon\over\ln G}</math>
</div>
תוצאה זו מערערת על ההגדרה של המודל כחד מימדי, משום שניתן לטעון כי הניוון <math>G</math> נובע מדרגות החופש הרוטציוניות של החוליה, שאינן קיימות במודל חד מימדי אמיתי. בכל זאת, ישנם מודלים חד מימדיים דומים בהם משמש הניוון חלק חשוב ממעבר הפאזה<ref>{{צ-מאמר|מחבר=J. F. Nagle|שם=Proof of the First Order Phase Transition
in the Slater KDP Model|כתב עת=American Journal of Physics|שנת הוצאה=1968|כרך=36|עמ=1114}}</ref>. זה נובע מכך שהקיום של קונפיגורציות אסורות במערכת (כלומר, אנרגיה אינסופית) הוא תנאי הכרחי אך לא מספיק למעבר פאזה במערכת חד מימדית כמו זו. דרישה נוספת יכולה להיות, למשל, שהניוון של מצב מעורר של יחידה מבנית (באנגלית- '''Structural Unit''') חייב להיות גדול מהניוון של מצב היסוד.
| |||