מרחב טופולוגי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הגהה, עריכת נוסחאות |
Bustan1498 (שיחה | תרומות) סידור |
||
שורה 4:
מרחב טופולוגי הוא [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] [[אקסיומות ההפרדה|<span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">{\displaystyle X}</math></span>]]<math>X</math> ומשפחה <math>\tau</math> של [[תת קבוצה|תת קבוצות]] של <math>X</math> המקיימת שלושה תנאים:
# הקבוצה הריקה והקבוצה <math>X</math> שייכים ל־<math>\tau</math>.
# <math>\tau</math> סגורה תחת [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]]
# [[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] של שתי קבוצות מ־<math>\tau</math> שייך גם הוא ל־<math>\tau</math>. (אין הכרח שחיתוך מספר אינסופי של קבוצות ממשפחה זו שייך למשפחה. מתכונה זו נובע שכל חיתוך סופי של קבוצות מ-<math>\tau</math> שייך לה, ויש המגדירים מראש כך).
הקבוצות השייכות ל-<math>\tau</math> ייקראו [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]]. <math>\tau</math> נקראת '''הטופולוגיה''' על <math>X</math>. קבוצה [[משלים (תורת הקבוצות)|שמשלימתה]] פתוחה תיקרא [[קבוצה סגורה]]. איברי <math>X</math> יקראו "נקודות".
שורה 15:
אוסף של קבוצות מ־<math>\tau</math> כך שהקבוצה של כל החיתוכים הסופיים של קבוצות מהאוסף מהווה בסיס למרחב נתון, ייקרא "[[תת בסיס לטופולוגיה|תת בסיס]]" למרחב. תת-בסיס הוא קבוצה מצומצמת אף מבסיס, אך כמו הבסיס יכול לספק ייצוג נוח יותר לטופולוגיה נתונה. על אף שלא כל משפחת קבוצות מהווה בסיס לטופולוגיה, כל משפחה כזו מהווה תת-בסיס לטופולוגיה כלשהי.
ממרחבים טופולוגיים קיימים ניתן לבנות מרחבים חדשים על ידי [[מרחב מכפלה (טופולוגיה)|מכפלה]] [[מרחב מנה|ומנה]].
שורה 28 ⟵ 27:
=== [[טופולוגיה דיסקרטית|מרחב דיסקרטי]] ===
טופולוגיה נוספת אשר ניתן להגדיר על כל מרחב <math>X</math> היא הטופולוגיה הדיסקרטית - <math>(X,\mathcal{P}(X))</math>. כלומר, טופולוגיה בה '''כל''' תת-קבוצה של <math>X</math> היא קבוצה פתוחה.
גם במקרה זה, ניתן לראות ללא קושי רב שמדובר במרחב טופולוגי.
בשונה מהמרחב הטריוויאלי, מרחב זה לעולם מטריזבילי. (כיוון שהוא מתקבל על ידי המטריקה הדיסקרטית - מטריקה עבורה לכל <math>x\ne y</math>, <math>d(x,y)=c</math>
===[[הטופולוגיה הקו-סופית|הטופולוגיה הקו־סופית]]===▼
דוגמה מעט יותר מורכבת לטופולוגיה היא
<math>\tau_{\text{co-finite}} = \{A \subset X \mid |X^c| < \infty\} \cup \{\emptyset\}</math>.
▲===הטופולוגיה הקו־סופית===
▲דוגמה מעט יותר מורכבת לטופולוגיה היא [[הטופולוגיה הקו-סופית]] מעל מרחב <math>X</math> כלשהו. בטופולוגיה זו, הקבוצות הפתוחות הן אלה שהמשלים שלהן סופי, והקבוצה הריקה. (ההוכחה לכך שמדובר במרחב טופולוגי נעשית תוך שימוש [[כללי דה מורגן|בכללי דה מורגן]].)
עבור <math>X</math> אינסופי, טופולוגיה זו '''עשירה''' מהטופולוגיה הטריוויאלית '''וענייה ממש''' מהטופולוגיה הדיסקרטית. (טופולוגיה אחת נקראת עשירה מאחרת אם כל הקבוצות הפתוחות לפי השנייה פתוחות גם לפי הראשונה). במרחב אינסופי, הטופולוגיה הקו-סופית אינה [[מרחב האוסדורף|האוסדורף]].
| |||