העתקה ליניארית – הבדלי גרסאות

נוספו 441 בתים ,  לפני שנתיים
סידור
מ (טרנספורמצייה->טרנספורמציה - תיקון תקלדה בקליק)
(סידור)
העתקה בין מרחבים מממד סופי אפשר לתאר באמצעות [[מטריצה]]; כל מטריצה מתארת באופן חד-משמעי העתקה ליניארית, וכל העתקה ליניארית ניתנת לייצוג ככפל של מטריצה בווקטור במרחב (באופן פורמלי: מרחב ההעתקות ומרחב המטריצות [[איזומורפיזם|איזומורפיים]]). תכונה שימושית זאת מאפשרת להסתכל על מטריצות כפונקציות בין מרחבים וקטורים, להסתכל על העתקות ליניארית כמטריצות ולהקיש לגבי תכונות משותפות.
 
להעתקה ליניארית ממרחב <math>V</math> אל עצמו, כלומר <math>T: \colon V \rightarrowto V</math>, נהוג לעיתים לקרוא '''[[אופרטור]] ליניארי''', אך המושג אופרטור ליניארי משמש גם לתיאור העתקה ליניארית כלשהי.
 
== הגדרה ==
העתקה <math>T</math> ממרחב וקטורי <math>V</math> אל מרחב וקטורי <math>W</math> (מסמנים <math>T: \colon V \rightarrowto W</math>) תקרא '''העתקה ליניארית''' או '''טרנספורמציה ליניארית''', אם מתקיימים התנאים הבאים:
:# '''<math>T</math>''' '''משמרת חיבור ([[פונקציה אדיטיבית|אדיטיביות]])''': לכל שני [[וקטור (אלגברה)|וקטורים]] <math>v,u</math> השייכים למרחב <math>V</math> מתקיים: <math>T(v+u)=T(v)+T(u)</math>
:# <math>T</math> '''משמרת כפל בסקלר ([[פונקציה הומוגנית|הומוגניות]])''': לכל וקטור <math>v</math> השייך למרחב <math>V</math>, ולכל [[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]] <math>\alpha</math> השייך לשדה מתקיים: <math>T(\alpha v)=\alpha T(v)</math>
משמעות התנאים הללו היא שאין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה <math>T</math> (אשר מניבה את תמונת הפונקציה) על כל וקטור בנפרד ואחר כך מחברים את התמונות, או שמחברים את הווקטורים <math>v,u</math> ולאחר מכן מפעילים על הסכום את העתקה - התוצאה תהיה זהה, דהיינו נשמר החיבור (אדיטיביות). באותו אופן, אין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה <math>T</math> על התוצאה של כפל הווקטור <math>v</math> בסקלר <math>\alpha</math>, או שמפעילים את ההעתקה על הווקטור <math>v</math> ולאחר מכן כופלים את התמונה בסקלר <math>\alpha</math> - הכפל נשמר (הומוגניות). שתי תכונות אלו מרכיבות את תכונת הליניאריות.
 
מההגדרה נובעת התכונה הכללית, שבהינתן וקטורים <math>\{v_k\}_{k=1}^n</math> וסקלרים <math>\{\lambda_k\}_{k=1}^n</math> מתקיים:
<math display="block">\ T \left( \sum_{k=1}^{n}{\lambda_k v_k} \right) = \sum_{k=1}^{n}{ \lambda_k {T(v_k)}}</math>
 
<math display="block">\ T(\vec{0}) = T(0 \cdot v) = 0 \cdot T(v) = \vec{0} </math>
 
מסקנה נוספת מכך היא קריטריון הכרחי לכך שפונקציה בין מרחבים וקטוריים היא העתקה ליניארית. אם <math>T: \colon V \to W</math> היא העתקה ליניארית אז <math>T(\vec{0})=\vec{0}</math>. מאחר שקל לבדוק תנאי זה הוא מהווה כלי יעיל כדי לשלול את היותה של פונקציה חשודה העתקה ליניארית: אם ''T'' לא מעבירה אפס לאפס אז היא לא העתקה ליניארית.
 
== דוגמאות ==
* אם <math>A</math> היא [[מטריצה]] מסדר <math>m \times n </math>, אז <math>A</math> מגדירה העתקה ליניארית <math>T_A :\colon \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m</math> מ-<math> \mathbb F ^n </math> ל-<math> \mathbb F ^m </math> כאשר היא פועלת על וקטורי עמודה ב <math> \mathbb F ^n </math> על ידי [[כפל מטריצות]] מימין: <math>T_A(\vec{x}) = A\vec{x}</math> זוהי דוגמה חשובה ושימושית ביותר, כיוון שניתן לייצג כל העתקה ליניארית בין מרחבים מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] סופי בדרך זו.
* טרנספורמציית האפס <math>\boldsymbolmathbf{0}: \colon V \to W</math> (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את [[איבר האפס|וקטור האפס]] בטווח) ו[[פונקציית הזהות|טרנספורמציית הזהות]] <math>\operatorname{Id}: \colon V \to V</math> (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את עצמו) הן טרנספורמציות ליניאריות. בפרט, אם <math>V=\mathbb{R}^n, W=\mathbb{R}^m</math> אז את טרנספורמציית האפס ניתן לייצג כ-<math>T_A</math> כאשר <math>A</math> היא מטריצת האפס (מטריצה בגודל המתאים שכולה אפסים), ואת טרנספורמציית הזהות <math>\operatorname{Id}: \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> ניתן לייצג כ-<math>T_A</math> על ידי <math>A=I_n</math> כאשר <math>I_n</math> היא [[מטריצת היחידה]] מסדר <math>n</math> (כלומר:, בגודל <math>n \times n</math>).
* ההעתקה <math>T_A :\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> עם <math>A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math> היא העתקה ליניארית המותחת את ציר ה-<math>x</math> פי <math>2</math>, בעוד את ציר ה-<math>y</math> היא משאירה ללא שינוי. נבטא אותה במפורש: <math display="block">\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 x \\ y \end{bmatrix}</math> ולכן <math>T_A(x,y) = (2x,y)</math>. קל לבדוק ישירות שהיא אכן ליניארית. ראו המחשה גרפית שלה באיורים שבתחתית סעיף זה.
* [[מטריצת סיבוב|טרנספורמציות סיבוב]] ו[[שיקוף (מתמטיקה)|שיקוף]] הן טרנספורמציות ליניאריות. לדוגמה, ב-<math> \mathbb R ^2</math>, הטרנספורמציה המשקפת כל וקטור יחסית לציר ה-<math>x</math> היא טרנספורמציה ליניארית.
* [[נגזרת|גזירה]] היא העתקה ליניארית ממרחב הפונקציות הגזירות למרחב הפונקציות (מרחבים מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] אינסופי).
* פונקציה <math>f: \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> היא העתקה ליניארית [[אם ורק אם]] היא מהצורה <math>f(x)=\alpha x</math> באשר <math>\alpha \in \mathbb{R}</math>. נשים לב שפונקציה ליניארית (כלומר: כזאת המתארת [[קו ישר]] ב[[מישור (גאומטריה)|מישור האוקלידי]]) <math>g(x) = \alpha x + \beta</math> היא העתקה ליניארית אם ורק אם <math>\beta = 0</math>. קל לראות ש-שאחרת <math>g</math> לא מעבירה <math>\vec{0}</math> ל-<math>\vec{0}</math> (תנאי הכרחי להעתקה ליניארית) אך ניתן להוכיח זאת גם באופן יותר מפורש: נניח ש-<math>\beta \ne 0</math> ונראה ש-<math>g</math> לא מקיימת אדיטיביות (ליניאריות): <math display="block">2\alpha+\beta=g(2) = g(1+1) \ne g(1)+g(1) = (\alpha + \beta) + (\alpha + \beta) = 2\alpha + 2\beta</math> פונקציה <math>g</math> כזאת נקראת [[העתקה אפינית]]. נעיר שלהעתקות אפיניות יש חשיבות מיוחדת כשדנים בגזירת פונקציות בכמה משתנים ([[דיפרנציאביליות]]).
 
 
<gallery widths="300" heights="200">
קובץ:Streckung eines Vektors.gif|הפונקציה <math display="inline">f:\R^2 \to \R^2</math> שמוגדרת על-ידי <math display="inline">f(x, y) = (2x, y)</math> היא העתקה ליניארית. פונקציה זו מותחת את רכיב ה-<math display="inline">x</math> בפקטור <math display="inline">2</math>.
קובץ:Streckung der Summe zweier Vektoren.gif|הפונקציה היא אדטיבית ושומרת על חיבור: <math display="inline">f(a + b) = f(a) + f(b)</math>
קובץ:Streckung homogenitaet Version 3.gif|הפונקציה היא הומוגנית: אפשר למתוח את הקלט ואז להפעיל את הפונקציה או להפעיל את הפונקציה ואז למתוח את הפלט. כלומר: <math display="inline">f(\lambda a) = \lambda f(a)</math>
</gallery>
 
וקטור האפס הוא טרנספורמציית האפס.
 
 
המרחב הווקטורי של כל ההעתקות ממרחב וקטורי <math>V</math> למרחב וקטורי <math>W</math> מסומן <math>\operatorname{Hom}(V,W)</math>. אם <math>V=\mathbb{R}^n, \ W=\mathbb{R}^m</math> אז <math display="block">\operatorname{Hom}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m) \simeq \mathbb{R}^{m \times n} = M_{m \times n}(\mathbb{R})</math> כלומר: מרחב הווקטורי של כל ההעתקות הליניאריות [[איזומורפיזם|איזומורפי]] למרחב המטריצות עם <math>m</math> שורות ו-<math>n</math> עמודות.
 
המרחב הווקטורי של כל ההעתקות ממרחב וקטורי <math>V</math> למרחב וקטורי <math>W</math> מסומן <math>\operatorname{Hom}(V,W)</math>. אם <math>V=\mathbb{R}^n, \ W=\mathbb{R}^m</math> אז <math display="block">\operatorname{Hom}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m) \simeqcong \mathbb{R}^{m \times n} = M_{m \times n}(\mathbb{R})</math> כלומר: מרחב הווקטורי של כל ההעתקות הליניאריות [[איזומורפיזם|איזומורפי]] למרחב המטריצות עם <math>m</math> שורות ו-<math>n</math> עמודות.
 
==גרעין ותמונה של העתקה ליניארית==
תהי טרנספורמציה ליניארית <math>T: \colon V \to W</math>.
 
ה[[גרעין (מתמטיקה)|גרעין]] של <math>T</math>, המסומן <math>\ker(T)</math> (מהמילה Kernel - גרעין), הוא קבוצה המכילה את כל הווקטורים ב<math>V</math> שהטרנספורמציה מעבירה לווקטור ה-<math>0</math> של <math>W</math>. כלומר:<math display="inline"> \ \ker (T) = \{v \in V \mid T(v) = 0 \} </math>
 
ה[[גרעין (מתמטיקה)|גרעין]] של <math>T</math>, המסומן <math>\ker(T)</math> (מהמילה Kernel - גרעין), הוא קבוצה המכילה את כל הווקטורים ב<math>V</math> שהטרנספורמציה מעבירה לווקטור ה-<math>0</math> של <math>W</math>. כלומר:
<math display="inline"> \ \ker (T) = \{v \in V | T(v) = 0 \} </math>
משימוש בתכונות הטרנספורמציה הליניארית קל לראות כי הגרעין הוא [[מרחב וקטורי]] חלקי (תת-מרחב) ל-<math>V</math> - משמע, הוא סגור לחיבור וכפל בסקלר.
 
ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של <math>T</math>, המסומנת <math>\operatorname{Im}(T)</math> (מהמילה Image - תמונה), היא קבוצה המכילה את כל איברי <math>W</math> שקיים להם מקור ב-<math>V</math>, כלומר:
היא קבוצה המכילה את כל איברי <math>W</math> שקיים להם מקור ב-<math>V</math>, כלומר:
<math display="block"> \ \operatorname{Im} (T) = \{w \in W \mid \exist v \in V : w = T(v) \} = \{ T(v) \mid v \in V \} = T(V) </math>
גם התמונה של טרנספורמציה ליניארית סגורה לחיבור וכפל בסקלר, ולכן מהווה [[מרחב וקטורי]], החלקי ל-<math>W</math>.
</div>
 
נשים לב כי בנוסחה אין תלות כלל בממד של הטווח <math>W</math>, אלא רק בממד של התחום <math>V</math>, אך מן המשפט נובע שיש קשר בין ממד הגרעין וממד התמונה, לממד התחום וממד הטווח:<math>\dim(\operatorname{Im}(T))\le \dim(W)</math> ולכן <math>\dim(\ker(T))\ge \dim(V)-\dim(W)</math>
<math>\dim(\operatorname{Im}(T))\le \dim(W)</math> ולכן <math>\dim(\ker(T))\ge \dim(V)-\dim(W)</math>
 
{{טבלה מוסתרת|כותרת=הוכחה|לא מוסתר=כן|תוכן=יהיו <math> \{ \ v_1,..., \ v_n \} </math> ה[[בסיס_(אלגברה)|בסיס]] של <math>\ker(T) </math> ויהיו <math> \{ \ u_1,..., \ u_m \} </math> וקטורים כך ש-<math> \{\ T(u_1),..., \ T(u_m) \} </math> מהווים בסיס ל-<math>\operatorname{Im}(T)</math>
 
== מטריצה מייצגת של העתקה ליניארית ==
יהיו <math>V</math> ו-<math>W</math> מרחבים וקטורים מממד סופי מעל שדה כלשהו <math>F</math>, ו-<math>T :\colon V \to W</math> העתקה ליניארית מ-<math>V</math> ל-<math>W</math>. נקבע <math>B = \{v_1,...,v_n\}</math> בסיס של <math>V</math> ו-<math>C = \{w_1,...,w_m\}</math> בסיס של <math>W</math>. לכל וקטור ב-<math>V</math> ניתן להתאים את [[וקטור קואורדינטות|וקטור הקואורדינטות]] שלו לפי הבסיס <math> B </math>, {{כ}}<math>V \ni v \mapsto [v]_B \in \mathbb{R}^n</math> ובאופן דומה <math>W \ni w \mapsto [w]_C \in \mathbb{R}^m</math>.
 
נגדיר את [[מטריצה מייצגת|המטריצה המייצגת]] של <math>T</math> ביחס לבסיסים <math>B</math> ו-<math>C</math>, שתסומן <math> {[T]^{B}_{C}} \in F^{m\times n}</math> כמטריצה שמקיימת את הקשר הבא:
5,536

עריכות