העתקה ליניארית – הבדלי גרסאות

להעתקה ליניארית ממרחב <math>V</math> אל עצמו, כלומר <math>T: \colon V \rightarrowto V</math>, נהוג לעיתים לקרוא '''[[אופרטור]] ליניארי''', אך המושג אופרטור ליניארי משמש גם לתיאור העתקה ליניארית כלשהי.

העתקה <math>T</math> ממרחב וקטורי <math>V</math> אל מרחב וקטורי <math>W</math> (מסמנים <math>T: \colon V \rightarrowto W</math>) תקרא '''העתקה ליניארית''' או '''טרנספורמציה ליניארית''', אם מתקיימים התנאים הבאים:

מההגדרה נובעת התכונה הכללית, שבהינתן וקטורים <math>\{v_k\}_{k=1}^n</math> וסקלרים <math>\{\lambda_k\}_{k=1}^n</math> מתקיים:

מסקנה נוספת מכך היא קריטריון הכרחי לכך שפונקציה בין מרחבים וקטוריים היא העתקה ליניארית. אם <math>T: \colon V \to W</math> היא העתקה ליניארית אז <math>T(\vec{0})=\vec{0}</math>. מאחר שקל לבדוק תנאי זה הוא מהווה כלי יעיל כדי לשלול את היותה של פונקציה חשודה העתקה ליניארית: אם ''T'' לא מעבירה אפס לאפס אז היא לא העתקה ליניארית.

* אם <math>A</math> היא [[מטריצה]] מסדר <math>m \times n </math>, אז <math>A</math> מגדירה העתקה ליניארית <math>T_A :\colon \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m</math> מ-<math> \mathbb F ^n </math> ל-<math> \mathbb F ^m </math> כאשר היא פועלת על וקטורי עמודה ב <math> \mathbb F ^n </math> על ידי [[כפל מטריצות]] מימין: <math>T_A(\vec{x}) = A\vec{x}</math> זוהי דוגמה חשובה ושימושית ביותר, כיוון שניתן לייצג כל העתקה ליניארית בין מרחבים מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] סופי בדרך זו.

* טרנספורמציית האפס <math>\boldsymbolmathbf{0}: \colon V \to W</math> (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את [[איבר האפס|וקטור האפס]] בטווח) ו[[פונקציית הזהות|טרנספורמציית הזהות]] <math>\operatorname{Id}: \colon V \to V</math> (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את עצמו) הן טרנספורמציות ליניאריות. בפרט, אם <math>V=\mathbb{R}^n, W=\mathbb{R}^m</math> אז את טרנספורמציית האפס ניתן לייצג כ-<math>T_A</math> כאשר <math>A</math> היא מטריצת האפס (מטריצה בגודל המתאים שכולה אפסים), ואת טרנספורמציית הזהות <math>\operatorname{Id}: \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> ניתן לייצג כ-<math>T_A</math> על ידי <math>A=I_n</math> כאשר <math>I_n</math> היא [[מטריצת היחידה]] מסדר <math>n</math> (כלומר:, בגודל <math>n \times n</math>).

* ההעתקה <math>T_A :\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> עם <math>A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math> היא העתקה ליניארית המותחת את ציר ה-<math>x</math> פי <math>2</math>, בעוד את ציר ה-<math>y</math> היא משאירה ללא שינוי. נבטא אותה במפורש: <math display="block">\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 x \\ y \end{bmatrix}</math> ולכן <math>T_A(x,y) = (2x,y)</math>. קל לבדוק ישירות שהיא אכן ליניארית. ראו המחשה גרפית שלה באיורים שבתחתית סעיף זה.

* פונקציה <math>f: \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> היא העתקה ליניארית [[אם ורק אם]] היא מהצורה <math>f(x)=\alpha x</math> באשר <math>\alpha \in \mathbb{R}</math>. נשים לב שפונקציה ליניארית (כלומר: כזאת המתארת [[קו ישר]] ב[[מישור (גאומטריה)|מישור האוקלידי]]) <math>g(x) = \alpha x + \beta</math> היא העתקה ליניארית אם ורק אם <math>\beta = 0</math>. קל לראות ש-שאחרת <math>g</math> לא מעבירה <math>\vec{0}</math> ל-<math>\vec{0}</math> (תנאי הכרחי להעתקה ליניארית) אך ניתן להוכיח זאת גם באופן יותר מפורש: נניח ש-<math>\beta \ne 0</math> ונראה ש-<math>g</math> לא מקיימת אדיטיביות (ליניאריות): <math display="block">2\alpha+\beta=g(2) = g(1+1) \ne g(1)+g(1) = (\alpha + \beta) + (\alpha + \beta) = 2\alpha + 2\beta</math> פונקציה <math>g</math> כזאת נקראת [[העתקה אפינית]]. נעיר שלהעתקות אפיניות יש חשיבות מיוחדת כשדנים בגזירת פונקציות בכמה משתנים ([[דיפרנציאביליות]]).

<gallery widths="300" heights="200">

קובץ:Streckung homogenitaet Version 3.gif|הפונקציה היא הומוגנית: אפשר למתוח את הקלט ואז להפעיל את הפונקציה או להפעיל את הפונקציה ואז למתוח את הפלט. כלומר: <math display="inline">f(\lambda a) = \lambda f(a)</math>

תהי טרנספורמציה ליניארית <math>T: \colon V \to W</math>.

ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של <math>T</math>, המסומנת <math>\operatorname{Im}(T)</math> (מהמילה Image - תמונה), היא קבוצה המכילה את כל איברי <math>W</math> שקיים להם מקור ב-<math>V</math>, כלומר:

נשים לב כי בנוסחה אין תלות כלל בממד של הטווח <math>W</math>, אלא רק בממד של התחום <math>V</math>, אך מן המשפט נובע שיש קשר בין ממד הגרעין וממד התמונה, לממד התחום וממד הטווח:<math>\dim(\operatorname{Im}(T))\le \dim(W)</math> ולכן <math>\dim(\ker(T))\ge \dim(V)-\dim(W)</math>

יהיו <math>V</math> ו-<math>W</math> מרחבים וקטורים מממד סופי מעל שדה כלשהו <math>F</math>, ו-<math>T :\colon V \to W</math> העתקה ליניארית מ-<math>V</math> ל-<math>W</math>. נקבע <math>B = \{v_1,...,v_n\}</math> בסיס של <math>V</math> ו-<math>C = \{w_1,...,w_m\}</math> בסיס של <math>W</math>. לכל וקטור ב-<math>V</math> ניתן להתאים את [[וקטור קואורדינטות|וקטור הקואורדינטות]] שלו לפי הבסיס <math> B </math>, {{כ}}<math>V \ni v \mapsto [v]_B \in \mathbb{R}^n</math> ובאופן דומה <math>W \ni w \mapsto [w]_C \in \mathbb{R}^m</math>.