נורמה (אנליזה) – הבדלי גרסאות

בשל תכונות אלה, מגדירים '''נורמה''' כפונקציה ממרחב וקטורי <math>V</math> מעל [[שדה המספרים הממשיים]] אל המספרים הממשיים (כלומר <math>\| \cdot \| \colon V \to \mathbb{R}</math>), המקיימת את האקסיומות הבאות:

#<math>\ \|x\|\ge 0</math>, ו- <math>\ \|x\| = 0</math> אם ורק אם <math>x = 0</math> (חיוביות)

#<math>\ \|\lambda\cdot x\|=|\lambda |\cdot \|x\|</math> ([[הומוגניות (מתמטיקה)|הומוגניות]])

#<math>\ \|x+y\|\le \|x\|+\|y\|</math> ([[אי-שוויון המשולש]])

'''משפט''': נורמה מושרית על ידי מכפלה פנימית [[אם ורק אם]] היא מקיימת את [[שוויון המקבילית]], הוא <math>\!\, \| f+g \| ^2 + \| f - g \| ^2 = 2 \| f \| ^2 + 2 \| g \| ^2</math>.

הסיבה לכך (במקרה הממשי) היא שאם הנורמה אכן מושרית על ידי מכפלה פנימית, אפשר לשחזר את המכפלה הפנימית על ידי "הזהות הפולרית" <math>\ (x,y) = \frac{1}{2}(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2)</math>, ובמקרה זה חישוב ישיר מראה שהנורמה מקיימת את שוויון המקבילית. הנוסחה למכפלה פנימית של מרחב וקטורי מעל המרוכבים מעט יותר מסובכת.

הנורמה המקובלת ביותר במרחב הווקטורי <math>\ \mathbb{R}^n</math> היא

דוגמה לנורמה לא-אוקלידית במרחב הווקטורי <math>\ \mathbb{R}^n</math> היא 'נורמת <math>L_p</math>', אשר מוגדרת במשוואה:

: <math>\!\, \| x \| _p = \left( \sum_{i=1}^{n}{|x_i|^p} \right) ^{1 \over p}</math>

לכל <math>\ p \ge1ge 1</math> ממשי קבוע.

את אי שוויון המשולש אפשר להוכיח באמצעות [[אי-שוויון הלדר]]/[[תנאי הלדר]]. עבור <math>\ p=2</math> מקבלים את הנורמה האוקלידית. עבור <math>\ p=1</math> מקבלים את הנורמה המתאימה ל[[גאומטריית מנהטן]].

נורמת המקסימום היא הגבול של הנורמות ''L<submath>pL_p</submath>'' כאשר <math>p</math> שואף לאינסוף, במובן הבא: <math>\left\Vert x\right\Vert _{\infty}=\lim_{p\to\infty}\left\Vert x\right\Vert _{p}</math>.

* כל מרחב נורמי הוא גם [[מרחב מטרי]], כאשר המטריקה מוגדרת על ידי <math>g(x,y)= \| x-y \|</math>, ובפרט הוא הופך להיות [[מרחב טופולוגי]]. זה מאפשר להגדיר [[גבול של סדרה|גבול של סדרות]]: סדרה <math>\ x_n</math> שואפת לגבול <math>\ L</math> אם <math>\!\, \lim_{n \to \infty}{\| x_n - L \|} = 0</math>.

* את הנורמה אפשר 'לקרוא' מתוך [[כדור יחידה|כדור היחידה]] שלה. כדור היחידה חייב לחתוך כל קרן היוצאת מהמרכז, להיות סימטרי (לשיקוף <math>x\mapsto -x</math> ), ו[[קמור]].