פונקציית רימן – הבדלי גרסאות

(סידור)
 
==הוכחה==
 
נוכיח שנקודות אי-הרציפות של הפונקציה הן כאמור לעיל. יהי <math>x</math> מספר רציונלי, אז <math>f(x) \neq 0</math>, אבל יש סדרה של מספרים אי-רציונליים המתכנסת ל-<math>x</math>, ועליהם הפונקציה מתאפסת לפי ההגדרה. מכאן ש-<math>x</math> היא נקודת אי-רציפות. כעת נניח ש-<math>x</math> אי-רציונלי, ויהי <math>\ \epsilon>0</math>. בקטע באורך יחידה סביב <math>x</math> יש רק מספר סופי של נקודות שבהן <math>\ f(t)\geq \epsilon</math> (משום שתנאי זה חוסם את המכנה), ולכן יש קטע סביב <math>x</math> שבו <math>|f(t)-f(x)| = f(t)<\epsilon</math> ומכאן ש-<math>f</math> רציפה בנקודה <math>x</math>.
 
==ראו גם==
5,048

עריכות