חשבון וריאציות – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Bustan1498 (שיחה | תרומות)
סידור
Bustan1498 (שיחה | תרומות)
שורה 49:
</math>.
 
נזכור כי בנקודות הקצה הפונקציה השרירותית מתאפסת ולכן האיבר האחרון מתאפס. נקבל: <math>\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}\epsilon}_{\epsilon =0} =\int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial L}{\partial y_0}-\frac{\mathrm{d}}{dx\mathrm{d}x}\frac{\partial L}{\partial \frac{\mathrm{d}y_0}{\mathrm{d}x}}\right)\cdot\eta \, \mathrm{d}x=0</math>
 
נשים לב כי גבולות האינטגרל שרירותיים, ולכן האינטגרנט חייב להתאפס. מכיוון שη היא פונקציה שרירותית ובאופן כללי שונה מפונקציית האפס, נקבל כי: <math> \frac{\partial L}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial L}{\partial \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=0</math> וזו ידועה כ[[משוואת אוילר־לגראנז']].
שורה 57:
ניתן לקבל בקלות את משוואת אוילר לגראנז' באותה שיטה גם למקרים הבאים:
* פונקציונל של N פונקציות <math>q_i(t)</math>
<math> \frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \frac{dq_i}{dt}}=0</math>. זהו סט של <math>N</math> משוואות, המתקיימות לכל הפונקציות <math>q_i(t)</math>
זהו סט של N משוואות, המתקיימות לכל הפונקציות <math>q_i(t)</math>
 
*פונקציונל של פונקציות הפועלות על מרחב ווקטורי <math>\xi (\vec{r})</math>