הבדלים בין גרסאות בדף "פונקציית אוילר"

נוספו 282 בתים ,  לפני חודשיים
(←‏תכונות הפונקציה: טור דיריכלה)
 
* הערך הממוצע של הפונקציה הוא{{הערה|זו השערה לא מפורסמת של גאוס מ-1796. פורסמה לראשונה על ידי דיריכלה ב-1849, והוכחה לבסוף על ידי Arnold Walfisz. }} <math>\frac{\varphi(1)+\cdots+\varphi(n)}{n} \sim \frac{3}{\pi^2}n</math>. הגבול התחתון של היחס <math>\frac{\varphi(n)}{n/\ln\ln n}</math> הוא <math>e^{-\gamma}</math>, כאשר <math>\gamma</math> הוא [[קבוע אוילר-מסקרוני|קבוע אוילר]].
* ניתן לכתוב את [[טור דיריכלה]] של פונקציית אוילר באופן הבא:
<math>F_\varphi(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}</math>
 
כאשר <math>\zeta</math> היא [[פונקציית זטא של רימן]].
* ב[[תורת גלואה]], פונקציית אוילר מופיעה כממד של ה[[הרחבה ציקלוטומית|הרחבה הציקלוטומית]] <math> \mathbb{Q}[\rho_n]/\mathbb{Q}</math> של [[שדה המספרים הרציונליים]] על ידי [[שורש יחידה|שורש היחידה]] מסדר <math>n</math> (הסיבה לכך היא ש[[פולינום ציקלוטומי|הפולינום הציקלוטומי]] הוא [[פולינום אי פריק|אי פריק]]).