גבול של סדרה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
יוניון ג'ק (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
מ תיקון קישור |
||
שורה 28:
כיוון ש <math>n \to \infty</math> עד <math>\ N_0</math> יש רק מספר סופי של אינדקסים וממנו והלאה יש מספר אינסופי של אינדקסים. לכן אפשר לומר שעבור כל <math>\varepsilon</math>, [[כמעט כל (מתמטיקה)|כמעט כל]] אברי הסדרה נמצאים במרחק שקטן מ- <math>\varepsilon</math> מהגבול- כלומר לא משנה עד כמה נצמצם את הסביבה של הגבול, עדיין כמעט כל הסדרה תישאר בתוך אותה סביבה.
:'''הגדרה''': תהא <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty</math> [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] של [[שדה המספרים הממשיים|מספרים ממשיים]]. נאמר על הסדרה שהיא '''מתכנסת''' למספר הממשי <math>\!\,L</math>, או ש-<math>\ L</math> הוא '''הגבול''' של הסדרה, ונסמן זאת <math>\lim_{n \to \infty}a_n=L</math> או בקיצור <math>\ a_n\to L</math> אם לכל מספר ממשי <math>\ \varepsilon > 0</math> (קטן כרצוננו) קיים [[מספר טבעי]] <math>\ N_0</math> כך שלכל <math>\ n</math> המקיים <math>\ n>N_{0}</math> מתקיים <math>\left|a_n-L\right| < \varepsilon</math>.
צורת כתיבה נוספת היא:
שורה 43:
'''תנאי קושי''' הוא אפיון שקול לסדרה מתכנסת. סדרה המקיימת את תנאי קושי היא סדרה שהמרחק בין כל שני איברים שגדולים מאינדקס כלשהו, קטן כרצוננו. ניתן לשים לב שאף על פי שסדרה המקיימת את תנאי קושי בהכרח מתכנסת לגבול סופי, בהגדרה הפורמלית של תנאי קושי לא מופיע כלל ערך הגבול אליו הסדרה מתכנסת, ומכאן גם חשיבותו של אפיון זה: הוא מספק את האפשרות לקבוע האם סדרה מתכנסת מבלי להתייחס לגבול אליו היא מתכנסת, בניגוד להגדרת הגבול שמחייבת התייחסות לערך הגבול.
:'''הגדרה''': תהא <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty</math>
=== גבול במובן הרחב ===
| |||