מרחב קשיר מסילתית – הבדלי גרסאות

מרחב טופולוגי הוא '''מרחב קשיר מסילתית''' אם ניתן לחבר כל שתי נקודות שלו על ידי [[מסילה (מתמטיקה)|מסילה]] רציפה במרחב. במילים אחרות: מרחב <math>X</math> הוא קשיר מסילתית, אם לכל שתי נקודות <math>x,y</math> ב-<math>X</math>, קיימת פונקציה רציפה <math>f</math> מקטע היחידה <math>[0,1]</math> אל <math>X</math>, המקיימת: <math>f(0)=x, f(1)=y</math>.

: נבחר <math>x\in f^{-1}(0)</math> ו <math>y\in f^{-1}(1)</math>. מכיוון ש-<math>X</math> קשיר מסילתית, קיימת מסילה <math>\gamma: \colon [0,1]\to X</math> מ-<math>x</math> ל-<math>y</math>.

: נתבונן בהעתקה <math>f\circ\gamma: \colon [0,1]\to\{0,1\}</math>. היא רציפה (כהרכבת רציפות) ועל. אבל זה עומד בסתירה לכך ש-<math>[0,1]</math> קשיר.

: יהיו <math>x=(x_\alpha)</math> ו- <math>y=(y_\alpha)</math> שתי נקודות ב <math>\prod_{\alpha\in I}X_\alpha</math>. לכל <math>\alpha\in I</math> קיימת מסילה <math>\gamma_\alpha:[0,1]\to X_\alpha</math> בין <math>x_\alpha</math> ל-<math>y_\alpha</math>. לכן נתבונן ב:-

: נבחין כי <math>x,y\in\prod_{\alpha\in I}X_\alpha</math> ומכיוון שהמכפלה קשירה מסילתית קיימת מסילה <math>\gamma:[0,1]\to\prod_{\alpha\in I}X_\alpha</math> המחברת בין <math>x</math> ל-<math>y</math>. נטיל את המסילה על הקואורידנטה ה-<math>\beta</math> ונקבל מסילה: <math>\pi_\beta\circ\gamma:[0,1]\to X_\beta</math> המחברת בין <math>x_\beta</math> ל-<math>y_\beta</math> כנדרש.