הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב קשיר מסילתית"

סידור
(סידור)
ב[[טופולוגיה]], '''קשירות מסילתית''' היא עידון של תכונת ה[[קשירות (טופולוגיה)|קשירות]] של [[מרחב טופולוגי|מרחבים טופולוגיים]].
 
מרחב טופולוגי הוא '''מרחב קשיר מסילתית''' אם ניתן לחבר כל שתי נקודות שלו על ידי [[מסילה (מתמטיקה)|מסילה]] רציפה במרחב. במילים אחרות: מרחב <math>X</math> הוא קשיר מסילתית, אם לכל שתי נקודות <math>x,y</math> ב-<math>X</math>, קיימת פונקציה רציפה <math>f</math> מקטע היחידה <math>[0,1]</math> אל <math>X</math>, המקיימת: <math>f(0)=x, f(1)=y</math>.
 
דוגמאות: <math>\mathbb{R}</math>, וכן כל קטע ב-<math>\mathbb{R}</math>, הם קשורים מסילתית. גם כל [[מרחב אוקלידי]] <math>d</math>-ממדי, לכל <math>d</math>, הוא קשיר מסילתית.
 
'''הוכחה''': יהי <math>X</math> מרחב קשיר מסילתית. נניח בשלילה כי הוא אינו קשיר, לכן קיימת העתקה <math>f:X\to\{0,1\}</math> שהיא רציפה ועל.
: נבחר <math>x\in f^{-1}(0)</math> ו <math>y\in f^{-1}(1)</math>. מכיוון ש-<math>X</math> קשיר מסילתית, קיימת מסילה <math>\gamma: \colon [0,1]\to X</math> מ-<math>x</math> ל-<math>y</math>.
: נתבונן בהעתקה <math>f\circ\gamma: \colon [0,1]\to\{0,1\}</math>. היא רציפה (כהרכבת רציפות) ועל. אבל זה עומד בסתירה לכך ש-<math>[0,1]</math> קשיר.
לעומת זאת, ההפך אינו נכון כפי שניתן לראות בדוגמה הבאה.
=== דוגמה למרחב קשיר אשר אינו קשיר מסילתית ===
'''הוכחה''':
כיוון ראשון: נניח כי כל <math>X_\alpha</math> קשיר מסילתית.
: יהיו <math>x=(x_\alpha)</math> ו- <math>y=(y_\alpha)</math> שתי נקודות ב <math>\prod_{\alpha\in I}X_\alpha</math>. לכל <math>\alpha\in I</math> קיימת מסילה <math>\gamma_\alpha:[0,1]\to X_\alpha</math> בין <math>x_\alpha</math> ל-<math>y_\alpha</math>. לכן נתבונן ב:-
: <math>\gamma:=\times_\alpha\gamma_\alpha:[0,1]\to\prod_{\alpha\in I}X_\alpha</math> (כלומר, מתקיים <math>\pi_\alpha \circ \gamma = \gamma_\alpha</math> לכל <math>\alpha \in I</math> כאשר <math>\pi_\alpha \colon \prod_{i \in I} X_i \to X_\alpha</math> ההטלה על הרכיב ה-<math>\alpha</math> של המכפלה)
: היא רציפה כיוון שכל הקואורדינטות שלה רציפות ומתקיים: <math>\gamma(0)=x</math> וגם <math>\gamma(1)=y</math> כנדרש.
: <math>y=\{y_\beta\}\times \prod _{\alpha\neq\beta }a_\alpha</math>
: (בסדר הנכון של ההכפלה. מקוצר לנוחות הכתיבה).
: נבחין כי <math>x,y\in\prod_{\alpha\in I}X_\alpha</math> ומכיוון שהמכפלה קשירה מסילתית קיימת מסילה <math>\gamma:[0,1]\to\prod_{\alpha\in I}X_\alpha</math> המחברת בין <math>x</math> ל-<math>y</math>. נטיל את המסילה על הקואורידנטה ה-<math>\beta</math> ונקבל מסילה: <math>\pi_\beta\circ\gamma:[0,1]\to X_\beta</math> המחברת בין <math>x_\beta</math> ל-<math>y_\beta</math> כנדרש.
 
== רכיבי קשירות מסילתית ==
2,158

עריכות