הבדלים בין גרסאות בדף "קטגוריות של תורות"

 
* נעיין בתורת המספרים עם פונקציית העוקב בלבד. נטען שהיא שלמה, ונראה זאת בעזרת המשפט שלעיל. אכן, כל מודל שלה אינסופי, שכן הוא מכיל עותק של <math>\mathbb{N}</math>, וכן מספר עותקים כלשהו של <math>\mathbb{Z}</math>. ברור שהיא לא <math>\aleph_0</math>-קטגורית, כי יש לה מודל המכיל עותק של <math>\mathbb{N}</math> בלבד, ומודל אחר שמכיל בנוסף עותק של <math>\mathbb{Z}</math>, ומודלים אלו לא איזומורפיים. אבל היא כן <math>\kappa</math>-קטגורית לכל <math>\kappa > \aleph_0</math>, כי בהינתן שני מודלים מעוצמה <math>\kappa</math>, נוכל להתאים בין העותקים של <math>\mathbb{N}</math> שבהם, וכן בין <math>\kappa</math> העותקים של <math>\mathbb{Z}</math> שיש בכל אחד מהם. מכאן שזו תורה שלמה.
* תורת הסדר המלא הצפוף בלי קצוות היא שלמה, שכן כל מודל שלה אינסופי, וניתן להראות שהיא <math>\aleph_0</math>-קטגורית, ע"י בניית התאמה בין שני סדרים בני-מנייה.
* תורת המרחבים הוקטוריים מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> כלשהו בן מנייה היא שלמה. היא לא <math>\aleph_0</math>-קטגורית כי למשל <math>\mathbb{F},\mathbb{F}^2</math> לא איזומורפיים, כי הם לא מאותו מימד מעל <math>\mathbb{F}</math>: הראשון ממימד 1 ואילו השני ממימד 2. אמנם, לכל <math>\kappa > \aleph_0</math> התורה כן <math>\kappa</math>-קטגורית. מכיוון שאיבר כללי במרחב הוא צירוף לינארי סופי של איברי בסיס, נובע שכל מרחב וקטורי מעוצמה <math>\kappa</math> הוא ממימד <math>\kappa</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>, ולכן יש איזומורפיזם בין כל שני מרחבים וקטוריים מעוצמה <math>\kappa</math>.
2,158

עריכות