הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב מכפלה פנימית"

מ (הוספת תבנית:MathWorld בקישורים חיצוניים (תג))
(←‏שימושים: סידור)
בעזרת המכפלה הפנימית אפשר, בין היתר, להגדיר את מושג ה[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] המהווה [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של ה[[אורך]] מה[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]]: נורמה מוגדרת כגודל <math>\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math> (שימו לב שבזכות תכונת החיוביות גודל זה הוא תמיד חיובי).
 
ניתן גם להכליל את מושג ה[[אנך|ניצב]]ות: שני וקטורים הם <math>x,y</math> [[אורתוגונליות|אורתוגונליים]] [[אם ורק אם]] המכפלה הפנימית שלהם שווה <math>0:</math>, כלומר <math>\langle x,y\rangle = 0</math> ומסמנים <math>\,x\perp y</math>. ביתר כלליות, ניתן להגדיר [[זווית]] בין וקטורים בצורה הבאה: <math>\operatorname{angle}(x,y) = \arccos \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \cdot \|y\|}</math>. ניתן להראות שה[[קוסינוס#הפונקציה ההפוכה|ארכקוסינוס]] תמיד מוגדר בעזרת [[אי-שוויון קושי-שוורץ]].
 
הכללה של מרחב מכפלה פנימית הוא [[מרחב הילברט]]. זהו מרחב מכפלה פנימית שהוא גם [[מרחב שלם|מרחב טופולוגי שלם]] ביחס ל[[מטריקה]] המושרית מהמכפלה הפנימית (כלומר: <math>d(x,y) = \sqrt{ \langle x - y , x - y \rangle }</math>).
** אם <math>\ \mathbb{F}=\mathbb{R}</math> אזי [[מכפלה סקלרית|המכפלה הסקלרית]] הבאה <math> \lang \vec{x} , \vec{y} \rang = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n </math> היא מכפלה פנימית.
** אם <math>\ \mathbb{F}=\mathbb{C}</math> אזי [[מכפלה סקלרית|המכפלה הסקלרית]] הבאה <math> \lang \vec{x} , \vec{y} \rang = x_1 \overline{y_1} + \cdots + x_n \overline{y_n} </math> היא מכפלה פנימית.
* עבור שתי [[מטריצה|מטריצות]] מאותו סדר <math>A</math> ו-<math>B</math>, הגודל <math>\mathrm{tr}(AB^t)</math> (כלומר ה[[עקבה (אלגברה)|עקבה]] של ה[[כפל מטריצות|מכפלה]] של האחת ב[[שחלוף (מתמטיקה)|שחלוף]] של השנייה) הוא מכפלה פנימית.
* את המכפלה הסקלרית אפשר לתאר באמצעות כתיב מטריציוני: <math> \lang \vec{x} , \vec{y} \rang = \vec{x}^T I \vec{y}</math> . אם נחליף את <math>\ I</math> ([[מטריצת היחידה]]) במטריצה <math>\ A</math> [[מטריצה חיובית|חיובית לחלוטין]] נקבל גם כן מכפלה פנימית.
* במרחב כל ה[[אינטגרל|פונקציות האינטגרביליות]] בריבוע ב[[אינטגרל לבג|מובן לבג]] בתחום <math>\,I</math>, שמסומן <math>\ L^2(I)</math>, המכפלה הפנימית היא <math> \lang f , g \rang = \int_I{ f(x) \ \overline{g(x)} \ dx } </math>. מכפלה זו הופכת את המרחב ל[[מרחב הילברט]], לפי משפט ריז-פישר.
* ב[[פיזיקה קוונטית]], משתמשים ב[[סימון דיראק]] (מכונה סימון "ברה-קט") לציון המכפלה הפנימית שפירושה הוא הטלת [[מצב קוונטי]] מסוים על מצב אחר. נהוג לקבוע שהיא הומוגנית דווקא ברכיב הימני ולא בשמאלי (בניגוד למוסכמה הנהוגה ב[[מתמטיקה]]): <math>\ \lang a \phi | b \psi \rang = a^* b \lang \phi | \psi \rang</math>. כאשר הכוכבית מסמנת [[צמוד מרוכב]].
 
== ראו גם ==
2,199

עריכות