הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב מכפלה פנימית"

(←‏שימושים: סידור)
בעזרת המכפלה הפנימית אפשר, בין היתר, להגדיר את מושג ה[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] המהווה [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של ה[[אורך]] מה[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]]: נורמה מוגדרת כגודל <math>\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math> (שימו לב שבזכות תכונת החיוביות גודל זה הוא תמיד חיובי).
 
ניתן גם להכליל את מושג ה[[אנך|ניצב]]ות: שני וקטורים הם <math>x,</math> ו-<math>y</math> הם [[אורתוגונליות|אורתוגונליים]] [[אם ורק אם]] המכפלה הפנימית שלהם שווה <math>0</math>, כלומר <math>\langle x,y\rangle = 0</math> ומסמנים <math>\,x\perp y</math>. ביתר כלליות, ניתן להגדיר [[זווית]] בין וקטורים בצורה הבאה: <math>\operatorname{angle}(x,y) = \arccos \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \cdot \|y\|}</math>. ניתן להראות שה[[קוסינוס#הפונקציה ההפוכה|ארכקוסינוס]] תמיד מוגדר בעזרת [[אי-שוויון קושי-שוורץ]].
 
הכללה של מרחב מכפלה פנימית הוא [[מרחב הילברט]]. זהו מרחב מכפלה פנימית שהוא גם [[מרחב שלם|מרחב טופולוגי שלם]] ביחס ל[[מטריקה]] המושרית מהמכפלה הפנימית (כלומר: <math>d(x,y) = \sqrt{ \langle x - y , x - y \rangle }</math>).
2,217

עריכות