הבדלים בין גרסאות בדף "קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך"

סידור
(←‏בניה: אומרים מסנן ראשי, לא מסנן עיקרי (תרגום שגוי של principal?))
(סידור)
ב[[טופולוגיה]], '''קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך''' היא טכניקה לבניית העתקה אוניברסלית מ[[מרחב טופולוגי]] <math>X</math> ל[[מרחב האוסדורף]] [[מרחב קומפקטי|קומפקטי]] <math>\ \beta X</math>, שיש לה חשיבות אפילו כאשר <math>X</math> [[טופולוגיה דיסקרטית|מרחב דיסקרטי]]. קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך <math>\ \beta X</math> של <math>X</math> היא מרחב האוסדורף קומפקטי הגדול ביותר הנוצר על ידי <math>X</math>, במובן שכל העתקה מ-<math>X</math> למרחב האוסדורף קומפקטי מתפצלת באופן יחיד דרך <math>\ \beta X</math>. אם <math>X</math> הוא [[מרחב רגולרי לחלוטין]], אז תמונת <math>X</math> ב-<math>\ \beta X</math> הומיאומורפית ל-<math>X</math>, וכך אפשר לחשוב על <math>X</math> כ[[קבוצה צפופה|תת-מרחב צפוף]] של <math>\ \beta X</math>. במקרה הכללי, ההעתקה <math>\ X \rightarrow \beta X</math> אינה מוכרחה להיות חד-חד-ערכית.
 
אם מניחים את [[אקסיומת הבחירה]], לכל מרחב טופולוגי יש קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך. בלעדיה, אפילו הטענה ש-<math>\ \beta \mathbb{N} \neq \mathbb{N}</math> אינה מוכרחה להיות נכונה, ובפרט קשה לתאר נקודות של <math>\ \beta \mathbb{N}</math> באופן ישיר.
 
== אוניברסליות ופונקטוריאליות ==
 
המרחב <math>\ \beta X</math> והפונקציה מ-<math>X</math> אליו מקיימים את ה[[תכונה אוניברסלית|תכונה האוניברסלית]] הבאה: לכל [[פונקציה רציפה]] <math>\ f:X \rightarrow K</math>, כאשר K מרחב האוסדורף קומפקטי, יש המשכה יחידה לפונקציה רציפה <math>\ \beta f: \beta X \rightarrow K</math>. כרגיל במקרים של אוניברסליות, תכונה זו מאפיינת את <math>\ \beta X</math> [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] [[הומיאומורפיזם]].
 
ההעתקה <math>\ X \rightarrow \beta X</math> היא חד-חד-ערכית (ולכן הומיאומורפיזם אל התמונה) אם ורק אם X הוא מרחב טיכונוף. ההעתקה <math>\ X \rightarrow \beta X</math> היא הומיאומורפיזם עם תמונה פתוחה אם ורק אם X מרחב האוסדורף [[מרחב קומפקטי מקומית|קומפקטי מקומית]]. תכונת ההרחבה שתוארה לעיל מאשרת כי <math>\ \beta</math> הוא [[פונקטור]] מן הקטגוריה ''Top'' של מרחבים טופולוגיים, אל הקטגוריה ''CHaus'' של מרחבי האוסדורף קומפקטיים. נסמן ב-<math>\ u : \operatorname{CHaus}\rightarrow \operatorname{Top}</math> את פונקטור ההכלה. אז כל מורפיזם <math>\ \beta X\rightarrow K</math> (עבור <math>\ K \in Obj(\operatorname{CHaus})</math>) מתאים באופן יחיד למורפיזם <math>\ X \rightarrow uK</math> (באמצעות צמצום ל-X ותכונת האוניברסליות), כלומר <math>\ Hom(\beta X, K) = Hom(X,uK)</math>. היינו, הפונקטור <math>\ \beta</math> הוא [[פונקטור צמוד]] משמאל ל-<math>\ u</math>.
2,158

עריכות