הבדלים בין גרסאות בדף "קומפקטיפיקציה"

אין תקציר עריכה
המתמטיקאי הרוסי [[פבל אלכסנדרוף|פבל אלכסנדרוב]] {{אנ|Pavel Alexandrov}} הראה שלכל מרחב טופולוגי (לא קומפקטי) יש קומפקטיפיקציה על ידי הוספה של נקודה אחת, שמסומנת לרוב "<math>\infty</math>" (נעיר שלעיתים קומפקטיפיקציה זו מכונה "קומפקטיפיקציית אלכסנדרוב" או "קומפקטיפיקציה חד-נקודתית"). הרעיון הוא להעתיק אל המרחב החדש את הטופולוגיה של המרחב הישן, ולהוסיף לאוסף הקבוצות הפתוחות את כל הקבוצות מהצורה <math>G \cup \{\infty\}</math> כאשר <math>G</math> קבוצה פתוחה של <math>X</math> ו-<math>X \setminus G</math> קומפקטית. כדוגמה נוספת, יש שתי דרכים טבעיות לשכן את [[המישור המרוכב]] במרחב קומפקטי. האחת, להוסיף לו את "הנקודה באינסוף", ולקבוע שכל [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] שה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] של איבריה [[שואף לאינסוף]], מתכנסת אל הנקודה החדשה. זהו מקרה פרטי של הקומפקטיפיקציה של אלכסנדרוב, והמרחב המתקבל הוא [[הספירה של רימן]]. אפשרות שנייה היא להוסיף את "המעגל באינסוף", כלומר להוסיף למישור מעגל "מבחוץ", כשנקודות המעגל עומדות ב[[התאמה חד-חד-ערכית]] ל[[זווית|זוויות]] של ישרים. בדוגמה זו, סדרה מתכנסת לנקודה המתאימה לזווית <math>\theta</math> אם הערך המוחלט של איבריה שואף לאינסוף, והיא [[אסימפטוטה|אסימפטוטית]] לישר שהזווית שלו <math>\theta</math>. המרחב המתקבל [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפי]] ל[[מעגל היחידה]] הסגור.
 
קומפקטיפיקציה אמנם "מתקנת" קבוצה להיות קומפקטית, אך עשויה "להרוס" תכונות שלה, כמו למשל את היותה [[מרחב האוסדורף]]: <math>\mathbb{Q}</math> האוסדורף, אך הקומפקטיפיקציה החד-נקודתית שלו אינה האוסדורף. ניתן להראות שהקומפקטיפיקציה החד-מימדית של מרחב <math>X</math> היא האוסדורף אמ"מ <math>X</math> האוסדורף וקומפקטיו[[מרחב קומפקטי מקומית|קומפקטי מקומית]]. ואכן, <math>\mathbb{Q}</math> אינו קומפקטי מקומית.
 
תהליך דומה לקומפקטיפיקציה הוא [[השלמה של מרחב מטרי|השלמה]] של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]]. ההשלמה של מרחב מטרי חסום מהווה קומפקטיפיקציה שלו.
2,217

עריכות