הבדלים בין גרסאות בדף "קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך"

אין תקציר עריכה
(סידור)
 
== אוניברסליות ופונקטוריאליות ==
 
המרחב <math>\beta X</math> והפונקציה מ-<math>X</math> אליו מקיימים את ה[[תכונה אוניברסלית|תכונה האוניברסלית]] הבאה: לכל [[פונקציה רציפה]] <math>f \colon f:X \rightarrowto K</math>, כאשר <math>K</math> מרחב האוסדורף קומפקטי, יש המשכה יחידה לפונקציה רציפה <math>\ \beta f: \colon \beta X \rightarrowto K</math>. כרגיל במקרים של אוניברסליות, תכונה זו מאפיינת את <math>\ \beta X</math> [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] [[הומיאומורפיזם]].
 
ההעתקה <math>\ X \rightarrow \beta X</math> היא חד-חד-ערכית (ולכן הומיאומורפיזם אל התמונה) אם ורק אם X הוא מרחב טיכונוף. ההעתקה <math>\ X \rightarrow \beta X</math> היא הומיאומורפיזם עם תמונה פתוחה אם ורק אם <math>X</math> מרחב האוסדורף [[מרחב קומפקטי מקומית|קומפקטי מקומית]]. תכונת ההרחבה שתוארה לעיל מאשרת כי <math>\ \beta</math> הוא [[פונקטור]] מן הקטגוריה ''Top'' של מרחבים טופולוגיים, אל הקטגוריה ''CHaus'' של מרחבי האוסדורף קומפקטיים. נסמן ב-<math>\ u : \colon \operatorname{CHaus} \rightarrowto \operatorname{Top}</math> את פונקטור ההכלה. אז כל מורפיזם <math>\ \beta X \rightarrowto K</math> (עבור <math>\ K \in \operatorname{Obj}(\operatorname{CHaus})</math>) מתאים באופן יחיד למורפיזם <math>\ X \rightarrowto uK</math> (באמצעות צמצום ל-<math>X</math> ותכונת האוניברסליות), כלומר <math>\ operatorname{Hom}(\beta X, K) = \operatorname{Hom}(X,uK)</math>. היינו, הפונקטור <math>\ \beta</math> הוא [[פונקטור צמוד]] משמאל ל-<math>\ u</math>.
 
== בניה ==
 
אם <math>X</math> מרחב דיסקרטי, אפשר לבנות את <math>\ \beta X</math> כמרחב כל ה[[על-מסנן|על-מסננים]] על <math>X</math>, עם '''טופולוגיית סטון'''. אברי <math>X</math> מתאימים למסננים הראשיים. ידועות גם בניות אחרות, המתאימות למרחב טופולוגי כללי.
 
== קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של חבורה למחצה ==
 
אם <math>S</math> [[חבורה למחצה]] דיסקרטית, יש המשכה יחידה של הפעולה מ-<math>S</math> ל-<math>\ \beta S</math> כך שהכפל מימין בכל איבר הוא רציף, והכפל משמאל בכל איבר של <math>S</math> הוא רציף. המשכה זו היא אסוציאטיבית. מתברר ש-<math>\ \beta S</math> אוניברסלי כחבורה למחצה קומפקטית והאוסדורף (כלומר ביחס להומומורפיזמים רציפים). אם <math>\ S \subseteq T</math> חבורות למחצה דיסקרטיות, אז <math>\ \beta S \subseteq \beta T</math> גם היא תת-חבורה למחצה.
 
'''המרכז הטופולוגי''' של <math>\ \beta S</math> (הכולל, בהגדרה, את האיברים שהכפל משמאל בהם רציף) שווה ל[[מרכז (אלגברה)|מרכז האלגברי]]. אם <math>S</math> חבורה למחצה אינסופית ובעלת צמצום מימין או משמאל, אז <math>\ S^* = \beta S - S</math> הוא אידיאל ימני או שמאלי, בהתאמה.
 
קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של המספרים הטבעיים (עם הטופולוגיה הדיסקרטית) היא אובייקט נחקר ובעל חשיבות בתורת הקבוצות. גם המבנה האלגברי של המספרים הטבעיים משך תשומת לב לא מבוטלת בהקשר זה. אלא שהמבנה האלגברי של הקומפקטיפיקציות <math>\ \beta \mathbb{N}</math> ו-<math>\ \beta \mathbb{Z}</math> סבוך להפליא. למשל, במרכזים של <math>\ (\beta \mathbb{N},+)</math>, <math>\ (\beta \mathbb{N},\cdot)</math> ו-<math>\ (\beta \mathbb{Z},+)</math> אין אף איבר שאינו שייך לקבוצה המקורית (הטבעיים בשני המקרים הראשונים, השלמים באחרון). ב-<math>\ \beta \mathbb{Z}</math> כמעט ואין שלשות המקיימות את החוק הדיסטריבוטיבי.
 
== מקורות ==
2,158

עריכות