הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב האוסדורף"

אין תקציר עריכה
מ (←‏=דוגמאות: תקלדה)
ב[[טופולוגיה]], '''מרחב האוסדורף''' הוא [[מרחב טופולוגי]] שבו ניתן להפריד בין נקודות על ידי קבוצות פתוחות, זרות. כלומר, נאמר שמרחב <math>X</math> הוא האוסדורף אם לכל שתי נקודות במרחב<math>x,y \in X</math> ישקיימות [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]]פתוחה [[קבוצה<math>U</math> של <math>x</math> וסביבה פתוחה|פתוחות]] ו[[קבוצות<math>V</math> של <math>y</math> כך ש-<math>U,V</math> זרות|זרות]]. מרחבי האוסדורף קרויים על-שם המתמטיקאי [[פליקס האוסדורף]]. הם נקראים גם מרחבי <math>T_2</math>, על-פי עוצמתה של [[אקסיומות ההפרדה|אקסיומת ההפרדה]] שהם מקיימים.
 
==דוגמאות==
כל ה[[מרחב מטרי|מרחבים המטריים]] הם מרחבי האוסדורף (ויותר מזה: הם [[מרחב נורמלי|נורמליים]]).
 
[[מישור מור]] הוא דוגמה ל[[מרחב טופולוגי]] [[מרחב ספרבילי|ספרבילי]] המקיים את תכונת האוסדורף, שאינו [[קומפקטיות מקומית|קומפקטי מקומית]] ואינו [[מרחב נורמלי|נורמלי]]. ה[[טופולוגיה קו-סופית|טופולוגיה הקו-סופית]] (על קבוצה אינסופית) מגדירה מרחב שאינו האוסדורף, שכן כל קבוצה פתוחה לא-ריקה כוללת את כל הנקודות ב-<math>X</math> פרט למספר סופי, ולכן אין שתי קבוצות פתוחות לא-ריקות וזרות.
 
==התכנסות במרחבי האוסדורף==
 
במרחב האוסדורף מתקיימת [[תכונת ההפרדה T1|תכונת ההפרדה הראשונה]], שלפיה כל נקודה <math>p</math> היא קבוצה סגורה. אכן, לכל נקודה אחרת יש קבוצה פתוחה שאינה מכילה את p. איחוד כל הקבוצות האלו נותן את המשלים של <math>p</math>. מאחר שזהו איחוד של קבוצות פתוחות, מתקבלת קבוצה פתוחה. והמשלים שלה הוא <math>\{p\}</math>. המשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה, כנדרש.
 
יותר מזה: לכל [[סדרה מתכנסת]] במרחב האוסדורף יש [[גבול (טופולוגיה)|גבול]] יחיד, שהרי אילו <math>x,y</math> היו נקודות גבול שונות לאותה סדרה, אז כל סביבה שלהן הייתה צריכה להכיל [[כמעט כל|כמעט את כל]] אברי הסדרה, וזה בלתי אפשרי ברגע שבוחרים סביבות זרות. במרחב שאינו האוסדורף יכולה סדרה להתכנס ליותר מגבול אחד. למשל, במרחב (אינסופי) עם הטופולוגיה ה[[טופולוגיה קו-סופית|קו-סופית]], סדרה שכל אבריה שונים זה מזה מתכנסת לכל נקודה (משום שכל קבוצה פתוחה כוללת כמעט את כל האיברים). משום כך, מושג הגבול של סדרות שימושי בעיקר במרחבי האוסדורף. מרחב טופולוגי שבו לכל סדרה מתכנסת יש גבול יחיד נקרא '''מרחב-US'''.
 
מרחבי האוסדורף מקיימים תכונה עוד יותר חזקה: כל מרחב האוסדורף הוא '''מרחב-KC.'''{{הערה|מרחב-KC הוא מרחב טופולוגי שבו כל [[קבוצה קומפקטית]] היא [[קבוצה סגורה|סגורה]]}}. כל מרחב-KC הוא מרחב-US, וכל מרחב-US מקיים את [[תכונת ההפרדה T1]]. בין מרחבים המקיימים את [[אקסיומת המניה הראשונה]], מחלקות המרחבים שהם האוסדורף, KC ו-US מתלכדות. העובדה שתכונות אלה נבדלות במקרה הכללי, מראה שסדרות מתכנסות אינן יכולות ללכוד את המבנה הטופולוגי באופן כללי, ולכן נדרשת הכללה ל[[רשת (טופולוגיה)|רשת]]ות.
 
==קישורים חיצוניים==
2,158

עריכות