פונקציה חד-חד-ערכית ועל – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
(הסרת תבנית עריכה. נא להסביר בדף השיחה מה הבעיה בערך הפשוט הזה)
אין תקציר עריכה
{{סימון מתמטי}}
[[קובץ:Bijection.svg|שמאל|ממוזער|200px|דוגמה לפונקציה חד-חד-ערכית ועל]]
ב[[מתמטיקה]], '''פונקציה חד-חד-ערכית ועל''' היא [[פונקציה]] שמתקיימות בה שתי תכונות:
ב[[מתמטיקה]], '''פונקציה חד-חד-ערכית ועל''' היא [[פונקציה]] שמתקיימות בה שתי תכונות: היא [[פונקציה חד-חד-ערכית]] והיא [[פונקציה על]]. בניסוח פורמלי: פונקציה <math>f:X\rarr Y</math>, מהקבוצה <math>X</math> לקבוצה <math>Y</math>, היא חד-חד-ערכית ועל, אם לכל <math>b\in Y</math> קיים <math>a\in X</math> יחיד כך ש-<math>f(a) = b</math>. אם קיימת פונקציה כזו, הקבוצות "[[קבוצות שקולות|שקולות]]" והן בעלות אותה [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]]. פונקציה היא חד-חד-ערכית ועל [[אם ורק אם]] היא [[פונקציה הפיכה|הפיכה]], ולכן יחס השקילות הזה בין קבוצות הוא [[יחס סימטרי]].
* היא [[פונקציה חד-חד-ערכית]].
* היא [[פונקציה על]].
 
==ניסוח פורמלי==
פונקציה <math>f:X\rarr Y</math>, מהקבוצה <math>X</math> לקבוצה <math>Y</math>, היא חד-חד-ערכית ועל, אם לכל <math>b\in Y</math> קיים <math>a\in X</math> יחיד כך ש-<math>f(a) = b</math>.
 
===דוגמה===
הפונקציה <math>y=x^3</math> היא חד-חד-ערכית ועל בתחום <math>f:[-1, 1] \rightarrow [-1, 1]</math>, משום שכל ערך של y בטווח <math>[-1,1]</math> מופיע בדיוק פעם אחת.
 
==תכונות ושימושים==
ב[[מתמטיקה]],אם '''פונקציהקיימת חד-חד-ערכית ועל''' היא [[פונקציה]] שמתקיימות בה שתי תכונות: היא [[פונקציה חד-חד-ערכית]] והיא [[פונקציה על]]. בניסוח פורמלי: פונקציה <math>f:X\rarr Y</math>כזו, מהקבוצההקבוצות <math>X</math> לקבוצה <math>Y</math>, היא חדו-חד-ערכית ועל, אם לכל <math>b\in Y</math> קיים <math>a\in X</math> יחיד כך ש-<math>f(a) = b</math>. אם קיימת פונקציה כזו, הקבוצותנקראות "[[קבוצות שקולות|שקולות]]" והן בעלות אותה [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]]. פונקציה היא חד-חד-ערכית ועל [[אם ורק אם]] היא [[פונקציה הפיכה|הפיכה]], ולכן יחס השקילות הזה בין קבוצות הוא [[יחס סימטרי]].
 
אם על הקבוצות <math>X,Y</math> מוגדר מבנה נוסף (פעולות אלגבריות, [[טופולוגיה]], [[מטריקה]] וכדומה), אז פונקציה חד-חד-ערכית ועל ביניהן השומרת על המבנה נקראת [[איזומורפיזם]].
 
פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה אל עצמה נקראת [[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]]. אוסף התמורות על קבוצה <math>X</math> הוא [[חבורת הסימטריות]] של הקבוצה. לדוגמה, הפונקציה המתאימה לכל [[מספר שלם]] את העוקב שלו, היא תמורה על המספרים השלמים. פונקציות חד-חד-ערכיות ועל הן מאבני הבניין של [[צופן סימטרי|צופנים סימטריים]] מודרניים רבים ב[[קריפטוגרפיה]].
 
===דוגמה===
הפונקציה <math>y=x^3</math> היא חד-חד-ערכית ועל בתחום <math>f:[-1, 1] \rightarrow [-1, 1]</math>, משום שכל ערך של y בטווח <math>[-1,1]</math> מופיע בדיוק פעם אחת.
 
== ראו גם ==