החבורה הסימטרית – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
{{פירוש נוסף|נוכחי=חבורת התמורות של מספר עצמים|אחר=חבורת סימטריות של מבנה מורכב|ראו=[[חבורת סימטריות]]}}
ב[[מתמטיקה]], '''החבורה הסימטרית''' של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>\ X</math> היא ה[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] המכילהשאבריה את כלהם ה[[פונקציה|פונקציות]] ה[[חד-חד ערכית|חד-חד ערכיות]] ו[[על]] מ-<math>\ X</math> ל- <math>\ X</math>, עם פעולת הכפל המוגדרת על ידי [[הרכבת פונקציות]]. מקובל לסמן חבורה זו, שהיא הדוגמה הפשוטה ביותר ל[[חבורת סימטריות]], בסימון <math>\ S_X</math> או <math>\ \operatorname{Sym}(X)</math>.
 
כאשר הקבוצה <math>\ X</math> סופית, ניתן להניח שאבריה הם <math>\ X=\{1,...,n\}</math>, ואז מסמנים את חבורת הסימטריות שלה ב-<math>\ S_n</math>, שבה יש <math>\ n!</math> איברים הנקראים [[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]].
 
== הגדרות וסימונים==
===מחזורים וחילופים===
===מחזור (Cycle) מסדר r===
מחזור מסדר r הוא תמורה בה r איברים מחליפים ביניהם מקומות באופן מעגלי (נקרא גם אופן '''ציקלי'''). את המחזור מסמנים על ידי כתיבת אברי המחזור בתוך סוגריים עגולים, כאשר ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של כל אבר היא האיבר שרשום אחריו. לדוגמה, <math>\ f=(1\ 4\ 7\ 9)\in S_9</math> הוא מחזור מסדר 4, שבו <math>\ f(1)=4, f(4)=7, f(7) = 9, f(9)=1</math> ולכל שאר המספרים מתקיים <math>\ f(x)=x</math> (באופן לא פורמלי אומרים שאת שאר האיברים הוא "משאיר במקום").
שני מחזורים נקראים '''זרים''' אם קבוצות האיברים שאותם הם '''לא''' משאירים במקום הן [[קבוצות זרות|זרות]]. לדוגמה, המחזור <math>(1 \ 2\ 9)</math> זר למחזור <math>(4\ 10\ 5)</math>. משפט בסיסי מראה כי ניתן להציג באופן יחיד כל תמורה כהרכבה של מחזורים זרים (עד כדי סדר), ולכן במובן מסוים מחזורים הם אבני הבנייה של חבורת התמורות.
 
שני מחזורים נקראים '''זרים''' אם קבוצות האיברים שאותם הם '''לא''' משאירים במקום הן [[קבוצות זרות|זרות]]. לדוגמה, המחזור <math>(1 \ 2\ 9)</math> זר למחזור <math>(4\ 10\ 5)</math>. משפטמחזורים בסיסי מראהזרים כימתחלפים. ניתן להציג באופן יחיד כל תמורה כהרכבה של מחזורים זרים באופן יחיד (עד כדי סדר),. ולכןאורכי במובןהמחזורים מסויםבהצגה מחזוריםזו הםמהווים אבני[[חלוקה הבנייה(קומבינטוריקה)|חלוקה]], שלהנקראת חבורת'''מבנה המחזורים''' של התמורותהתמורה.
'''חילוף''' (או בלעז '''טרנספוזיציה''') הוא מקרה פרטי של מחזור מסדר 2. כלומר, חילוף מחליף בין שני איברים בקבוצה ואת שאר אברי הקבוצה הוא משאיר במקומם.
 
מחזור באורך 2 נקרא '''חילוף'''.
 
===רישום תמורות באמצעות מטריצה===