פונקציית החלוקה (תורת המספרים) – הבדלי גרסאות

←‏דיאגרמות יאנג: מועבר לערך מתאים יותר
(←‏דיאגרמות יאנג: מועבר לערך מתאים יותר)
 
כאשר <math>p_n=\tfrac{3n^2-n}{2}</math> הוא ה[[מספר מחומש|מספר המחומש המוכלל]] ה-n-י. זהו סכום סופי, מכיוון ש-<math>p(0)=1</math> ([[סכום ריק]]) ולכל k שלילי <math>p(k)=0</math>.
 
== דיאגרמות יאנג ==
[[קובץ:Partition.png|ממוזער|דיאגרמת היאנג התואמת לחלוקה 5+4+1]]
את מבנה החלוקה ניתן לייצג באופן גאומטרי על ידי דיאגרמות יאנג, כך לאיבר הגדול ביותר של החלוקה, תשויך השורה הראשונה, עם מספר ריבועים כגודל האיבר. לאיבר הכי גדול אחריו תשויך השורה הבאה, וכך באופן דומה. לכל חלוקה קיימת חלוקה הצמודה לה. באופן אינטואיטיבי, היא מתקבלת על ידי הסתכלות על השורות בחלוקה המקורית, כשורות בחלוקה הצמודה.
 
'''משפט''': מספר החלוקות של n בעלות מרכיב מקסימלי לא גדול מm שווה למספר החלוקות בעלות מספר מרכיבים לא גדול מm.
 
'''הוכחה''': לכל חלוקה בעלת מרכיב מקסימלי m, קיימת דיאגרמת יאנג התואמת לה. לאותה דיאגרמה קיימת דיאגרמה צמודה התואמת לחלוקה הצמודה לחלוקה המקורית. האיבר הגדול ביותר בדיאגרמת היאנג המקורית שווה למספר המרכיבים בדיאגרמת היאנג הצמודה. באופן כזה נבנה התאמה חד-חד ערכית בין כל חלוקה לצמודה לה ולמעשה בין שתי הקבוצות שבנידון. כתוצאה מכך שתי הקבוצות הן בעלות אותה עוצמה ולכן הטענה הוכחה.
 
[[קובץ:Partition2.png|ממוזער|דיאגרמת היאנג התואמת לחלוקה 3+2+2+2+1. החלוקה הצמודה לחלוקה 5+4+1.]]
 
== ראו גם ==