רציפות במידה אחידה – הבדלי גרסאות

ב[[אנליזה מתמטית]], '''רציפות במידה אחידה''' (בקיצור, רציפות במ"א) היא תכונה של משפחה של [[פונקציה|פונקציות]] [[רציפות במידה שווה]] בקטע. במשפחה שבה התכונה מתקיימת, אם <math>\ y</math> קרוב ל- <math>\ x</math> אז <math>\ f(y)</math> קרוב ל-<math>\ f(x)</math> לכל הפונקציות במשפחה בבת אחת.

:'''הגדרה''': משפחה <math>\mathcal{F} = \{f(x)\}</math> של פונקציות רציפות מ[[מרחב קומפקטי|מרחב מטרי קומפקטי]] <math> X </math> עם מטריקה <math> d </math> ל[[מרחב מטרי]] <math> Y </math> עם מטריקה <math> \rho </math> נקראת '''רציפה במידה אחידה''', אם לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ \delta > 0</math> (התלוי ב-<math>\ \varepsilon </math> בלבד), כך שלכל <math>\ f \in \mathcal{F}</math> ולכל <math>\,x,y \in X</math>, אם <math>\!\, d(x,y) < \delta </math> אז <math>\ \rho(f(x),f(y)) < \varepsilon</math>.

תוצאה יסודית ב[[אנליזה פונקציונלית]] הנוגעת לתכונה זו היא [[משפט ארזלהארצלה-אסקולי|משפט ארצלה אסקולי]], שקובעהקובע שלקבוצה חסומה של [[פונקציה|פונקציות]] [[המספרים הממשיים|ממשי]]ות ו[[פונקציה רציפה|רציפות]] על קטע [[קומפקטיות|קומפקטי]] יש תת-סדרה המתכנסת במידה-שווה אם ורק אם איבריה רציפים במידה אחידה. מסקנה מידית היא שאם קבוצה זו אינה רק חסומה אלא גם סגורה, אז היא קומפקטית אם ורק אם איבריה רציפים במידה אחידה.