משפט ארצלה-אסקולי – הבדלי גרסאות

אם <math>K</math> הוא [[מרחב מטרי]] [[קומפקטיות|קומפקטי]] כלשהו, מסמנים ב-<math>C(K)</math> את [[מרחב הפונקציות הרציפות]] <math>f \colon f:K \to \mathbb{C} </math>, שמהווה [[מרחב וקטורי]] ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו [[מרחב בנך]] (כלומר [[מרחב נורמי]] [[מרחב שלם|שלם]]) תחת "נורמת <math>LL_\infty</math>-אינסוף": <math> \| f \|_\infty = \sup_{x \in K}|f(x)| </math>.

כמו בכל מרחב מטרי, תת-קבוצה <math>A</math> של <math>C(K)</math> היא "[[קבוצה חסומה|חסומה]]" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה.

:'''משפט ארצלה אסקולי:''' תהי <math>A \subseteq C(K)</math> קבוצה חסומה. אזי לכל [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] ב-<math>A</math> קיימת תת-סדרה מתכנסת, אם ורק אם <math>A</math> [[רציפות במידה אחידה|רציפה במידה אחידה]].

:'''מסקנה:''' אם <math>A \subseteq C(K)</math> סגורה (בטופולוגיה הנורמית) וחסומה, אז <math>A</math> [[קומפקטיות|קומפקטית]] אם ורק אם היא רציפה במידה אחידה.

:'''הוכחה:''' ממשפט ארצלה-אסקולי נובע כי אם <math>A</math> חסומה ורציפה במידה אחידה, אז לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת. תוספת הנתון ש-<math>A</math> סגורה קובע כי תת-סדרה זו מתכנסת לתוך <math>A</math>. מכאן ש-<math>A</math> מהווה מרחב מטרי שבו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, תכונה השקולה לקומפקטיות. הכיוון השני של השקילות נובע באופן טריוויאלי מהמשפט.

:'''מסקנה:''' אופרטור האינטגרל <math>T \colon C(K) \to C(K) </math> המוגדר <math>\ T(f) = \int_a^b k(s,t)f(t)\,\mathrm{d}t </math>, כאשר <math>\ k </math> [[גרעין (אנליזה)|גרעין]] רציף על <math>\ K \times K</math>, הוא [[אופרטור קומפקטי]].

תהי <math>A\subseteq C\left(K\right)</math> קבוצה חסומה ונניח שאיברי <math>\ A</math> רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב-<math>\ A</math> יש תת-סדרה מתכנסת. תהי <math>\left\{f_n\right\}_{n=1}^\infty</math> סדרת פונקציות ב-<math>\ A</math>. תהי <math>\left\{x_k\right\}_{k=1}^\infty</math> סדרה צפופה ב-<math>\ K</math> (קיימת כזאת כי <math>\ K</math> מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).

אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון <math>\left\{g_n\right\}_{n=1}^\infty</math> המוגדרת לכל <math>\ n</math> כך <math>\ g_n:=f_n^n</math> (כלומר זו סדרת פונקציות שהאיבר ה-<math>\ n</math>-י שלה הוא האיבר ה-<math>\ n</math>-י בסדרה ה-<math>\ n</math>-ית).

יהי <math>\varepsilon>0</math>. אברי <math>\ A</math> רציפים במידה אחידה לכן קיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל <math>x,y\in K</math> ולכל <math>n\in\mathbb{N}</math>, אם <math>d\left(x,y\right)<\delta</math> אזי <math>|g_n\left(x\right)-g_n\left(y\right)|<\frac{\varepsilon}{3}</math> (כאשר <math>\ d</math> היא פונקציית המטריקה ב-<math>\ K</math>). אבל <math>\ K</math> קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של [[כדור (טופולוגיה)|כדורים פתוחים]] בקוטר <math>\ \delta</math> שנסמנם ב -<math>\ O_1,\dots,O_l</math>.

לכל <math>\ 1\le i\le l</math> קיים <math>k_i\in\mathbb{N}</math> כך ש-<math>x_{k_i}\in O_i</math> (כי <math>\left\{x_k\right\}_{k=1}^\infty</math> צפופה ב-<math>\ K</math>). כמו כן הסדרה <math>\left\{g_n\left(x_{k_i}\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ל-<math>\xi_{k_i}</math> לכן לפי [[סדרת קושי|תנאי קושי]] קיים <math>\ N_i</math> כך שלכל <math>\ n,m>N_i</math> מתקיים <math>|g_n\left(x_{k_i}\right)-g_m\left(x_{k_i}\right)|<\frac{\varepsilon}{3}</math>. נסמן <math>\ N:=\max(N_i)</math>. כעת, לכל <math>\ n,m>N</math> ולכל <math>x\in K</math> קיים <math>\ 1\le i\le l</math> כך ש-<math>x\in O_i</math> ומתקיים מ[[אי-שוויון המשולש|אי שוויון המשולש]]<math>|g_n\left(x\right)-g_m\left(x\right)| \le |g_n\left(x\right)-g_n\left(x_{k_i}\right)| + |g_n\left(x_{k_i}\right)-g_m\left(x_{k_i}\right)| + |g_m\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x\right)| < \varepsilon</math>. לכן, לפי תנאי קושי, הסדרה <math>\left\{g_n\right\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת במידה שווה.