אופרטור צמוד – הבדלי גרסאות

סידור
מ (בוט החלפות: \1ליניארי)
(סידור)
ב[[אלגברה ליניארית]] והכללותיה, '''האופרטור הצמוד''' לאופרטור ליניארי <math>\ T :\colon V \rightarrow W</math> הוא אופרטור ליניארי אחר, <math>\ T^* :\colon W^* \rightarrow V^*</math>. בנוכחות [[מרחב מכפלה פנימית|מכפלה פנימית]] האופרטור הצמוד הוא אופרטור <math>\ T^* :\colon W \rightarrow V</math>.
 
פעולת ההצמדה מהווה [[אינוולוציה (תורת החוגים)|אינוולוציה]] של [[חוג האנדומורפיזמים]] של מרחב מכפלה פנימית.
== המקרה הכללי ==
 
לכל [[מרחב וקטורי]] <math>V</math> מוגדר [[המרחב הדואלי]] <math>\ V^*</math> של כל הפונקציונלים <math>\ V \rightarrow F</math>. אם <math>\ T :\colon V \rightarrow W</math> העתקה ליניארית, ההעתקה הצמודה היא אופרטור <math>\ T^* :\colon W^* \rightarrow V^*</math> המוגדר לפי הכלל הפשוט <math>\ (T^*f)(v) := f(Tv)</math>; כלומר, <math>\ T^*</math> פועל על פונקציונלים <math>\ f : W \rightarrow F</math> על ידי [[הרכבת פונקציות|הרכבת]] <math>T</math> מימין.
 
פעולת הצמוד היא ליניארית: אם <math>\ T,S :\colon V \rightarrow W</math> שתי העתקות ליניאריות ו-<math>\ \alpha \in F</math> הוא [[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]], אז <math>\ (T+S)^* = T^*+S^*</math> ו- <math>\ (\alpha T)^* = \alpha T^*</math>.
 
אם <math>U,V,W</math> מרחבים וקטוריים ו- <math>\ T :\colon V \rightarrow W,\, S :\colon W \rightarrow U</math> העתקות, אז <math>\ (ST)^* = T^*S^*</math> משום ש-<math>\ ((ST)^*g)(v) = g(STv)=S^*g(Tv)=(T^*(S^*g))(v)</math>.
 
בדומה לזה מוגדר הצמוד של הצמוד, <math>\ T^{**} : V^{**} \rightarrow W^{**}</math>, לפי <math>\ (T^{**}\varphi)(f) := \varphi(T^*f)</math>. כל מרחב וקטורי <math>V</math> משוכן באופן טבעי במרחב הדואלי לדואלי שלו, <math>\ V^{**}</math>, כאשר מפרשים וקטור <math>v </math>כפעולה <math>\ V^* \rightarrow F</math> המוגדרת לפי <math>\ v(f) = f(v)</math>. תחת הפירוש הזה, <math>\ T^{**}</math> מתלכד עם <math>T</math> בכל מקום שבו האחרון מוגדר, משום ש-<math>\ (T^{**}v)(f) = v(T^*f)=(T^*f)(v)=f(Tv)=(Tv)(f)</math> לכל <math>\ f : W \rightarrow F</math>.
 
== מרחבי מכפלה פנימית ==
5,536

עריכות