פונקציות טריגונומטריות – הבדלי גרסאות

מ
סידור קטגוריות
מ (סידור קטגוריות)
[[קובץ:Periodic sine.PNG|שמאל|ממוזער|250px|בראש התמונה מוצגת הפונקציה הטריגונומטרית [[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]] (sin) עבור הזוויות θ, π − θ, π + θ ו-2π − θ בארבעת הרבעים של [[מעגל היחידה]]. בתחתית התמונה מוצג ה[[גרף של פונקציה|גרף]] של פונקציית הסינוס, כשהזוויות מראש התמונה מודגשות]]
 
ב[[מתמטיקה]], '''הפונקציות ה[[טריגונומטריה|טריגונומטריות]]''' הן [[פונקציה|פונקציות]] של [[זווית]]. הן משמשות, בין השאר, לקשור בין הזוויות ב[[משולש]] לאורכי [[צלע (גאומטריה)|צלעותיו]]. הפונקציות הטריגונומטריות המוכרות ביותר הן [[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]], [[קוסינוס]] ו[[טנגנס]]. הפונקציות הטריגונומטריות חשובות במחקר המשולשים, ב[[מודל מתמטי|מידול]] תופעות מחזוריות ובשימושים רבים נוספים. שני משפטים בסיסיים הנוגעים לפונקציות הטריגונומטריות הם [[משפט הסינוסים]] ו[[משפט הקוסינוסים]].
 
== הפונקציות הטריגונומטריות במשולש ישר-זווית==
 
:<math>
\sin \angle A = \frac{a}{c}
</math>
 
*קוסינוס של הזווית (cos x) הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית והיתר במשולש; בדוגמה המופיעה בתרשים
 
:<math>
\cos \angle A = \frac{b}{c}
</math>
 
 
:ההגדרות לעיל לא תקפות עבור הזווית 0 והזווית הישרה; עבור זוויות אלה מוגדרים ערכי הסינוס כ-0 ו-1 בהתאמה, וערכי הקוסינוס כ-1 ו-0 בהתאמה. ערכים אלה הם [[גבול (מתמטיקה)|הגבולות]] של היחסים המתאימים. הגדרות אחרות של הפונקציות הטריגונומטריות (להלן) אינן דורשות טיפול מיוחד בזוויות אלה.
 
*טנגנס של הזווית (tg x או tan x) הוא היחס בין הניצב שמול הזווית והניצב שליד הזווית; בדוגמה המופיעה בתרשים
 
:<math>
\tan \angle A = \frac{a}{b}
</math>
 
[[מעגל היחידה]] הוא מעגל ברדיוס של יחידה אחת, שמציג באופן גרפי את הפונקציות הטריגונומטריות.{{ש}}
 
הסינוס והקוסינוס מורחבות גם לזוויות שאינן יכולות להופיע במשולש ישר-זווית, בהן <math>\ x \ge 90^{\circ}</math> או <math>\ x \le 0^{\circ}</math>, על ידי הגדרתן באמצעות ה[[מערכת צירים קרטזית|קואורדינטות]] של [[מעגל היחידה]], שמרכזו ב[[ראשית הצירים]] ורדיוסו 1. לפי הגדרה זו, הסינוס של הזווית <math>\theta</math> הוא קואורדינטת ה-y של הנקודה הנוצרת על היקף מעגל היחידה עם "סיבוב" הרדיוס נגד [[כיוון השעון]] החל מקרן המספרים החיוביים בציר ה-X לאורך זווית <math>\theta</math>, וקוסינוס הזווית הוא קואורדינטת ה-x של אותה נקודה. לפי הגדרה זו, עבור זוויות כלליות ייתכן שהסינוס או הקוסינוס יהיו שליליים (מה שלא אפשרי עבור זוויות שבין 0<sup>0</sup> ל-90<sup>0</sup>, שם הפונקציות מייצגות יחס בין אורכים), אך סכום הריבועים שלהם הוא תמיד 1. מסיבה זו, [[ערך מוחלט|ערכם המוחלט]] חסום על ידי 1.
 
לסיכום:
 
== קירובים של הפונקציות הטריגונומטריות ==
{{ערך מורחב|ערך=[[קירוב זוויות קטנות]]}}
 
את [[טור טיילור|טורי טיילור]] של הפונקציות הטריגונומטריות אפשר למצוא בעזרת חישובי נגזרות, שהבסיס להם הוא [[הגבול של sin(x)/x]]. הטורים המתקבלים הם:
: <math>\ \sin(x) =x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} -... \approx x</math>
ו-
== סינוס וקוסינוס של זוויות רציונליות ==
 
מהצבה ב[[פולינומי צ'בישב|פולינום צ'בישב]] נובע שהסינוס והקוסינוס של זווית (ברדיאנים) שהיא כפולה [[מספר רציונלי|רציונלית]] של π הוא תמיד [[מספר אלגברי]]. עם זאת, הערך אינו יכול להיות מספר רציונלי, אלא אם הזווית היא כפולה של π/6.
 
==ראו גם==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}
[[קטגוריה:פונקציות טריגונומטריות|*]]
 
[[קטגוריה:טריגונומטריה]]
[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות|טריגונומטריות]]
[[קטגוריה:פונקציות טריגונומטריות|*]]
99,603

עריכות