הבדלים בין גרסאות בדף "אופרטור הרמיטי"

הוסרו 16 בתים ,  לפני 11 חודשים
סידור
מ (הגהה, עריכת נוסחאות)
(סידור)
 
== אופרטורים במרחב מכפלה פנימית ==
 
יהי <math>H</math> [[מרחב מכפלה פנימית]] מעל [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]]. לכל אופרטור ליניארי <math>\ A :\colon H \to H</math> מוגדר ה[[אופרטור צמוד|אופרטור הצמוד]] <math>\ A^* :\colon H \to H</math>, לפי החוק
: <math>\ \lang Ax , y \rang = \lang x, A^* y \rang</math>
(את האופרטור הצמוד מסמנים לפעמים גם <math>\ A^{\dagger}</math>, מבטאים כ"A [[צלבון|דאגר]]"). לדוגמה, אם <math>H</math> הוא [[מרחב הילברט]] ו-<math>A</math> [[אופרטור ליניארי חסום|אופרטור חסום]], אז לפי [[משפט ההצגה של ריס]] גם <math>\ A^*</math> חסום. אם <math>\ A^* = A</math>, אומרים ש-<math>A</math> '''צמוד לעצמו'''.
 
[[משפט הפירוק הספקטרלי]] מבטיח שכל אופרטור [[אופרטור קומפקטי|קומפקטי]] '''צמוד לעצמו''' הוא [[לכסון אוניטרי|לכסין אוניטרית]]. יתרה מזו, לכל [[וקטור עצמי]] <math>v</math> של <math>A</math> עם [[ערך עצמי]] <math>\ \lambda</math>, מתקיים
:<math>\ \lambda \lang v, v\rang = \lang \lambda v , v \rang = \lang Av, v\rang = \lang v, A^* v\rang = \lang v, A v \rang= \lang v, \lambda v\rang = \bar{\lambda}\lang v, v\rang</math>,
ולכן <math>\ \lambda</math> [[מספר ממשי|ממשי]]. מכאן שיש למרחב [[בסיס אורתוגונלי]] (ובמקרה האינסוף-ממדי [[מערכת אורתונורמלית שלמה]]) שהאופרטור מותח כל איבר שלו בגורם ממשי.
 
כל אופרטור אפשר לפרק לסכום של מרכיב הרמיטי ומרכיב אנטי-הרמיטי, לפי הנוסחה הפשוטה <math>\ A = \frac{1}{2}(A+A^*)+\frac{1}{2}(A-A^*)</math>. מחצית הסכום <math>\ A+A^*</math> היא, אם כך, המרכיב ההרמיטי של האופרטור. גם המכפלות <math>\ AA^*</math> ו- <math>\ A^*A</math> תמיד הרמיטיות, ויש להן תכונה שימושית נוספת: <math>\ \|AA^*\|=\|A\|\|A^*\|=\|A\|^2</math>, כאשר <math>\ \|A\|</math> מסמן את ה[[נורמה של אופרטור|נורמה]] של <math>A</math> כאופרטור.
 
==אופרטורים על מרחב סופי==
 
על מרחב ה[[מרחב וקטורי|ווקטורים]] ה[[מספר מרוכב|מרוכבים]] <math>\ \mathbb{C}^n</math> מוגדרת המכפלה הפנימית הסטנדרטית <math>\ \lang \vec{x}, \vec{y} \rang = \sum_{k=1}^{n} x_k \bar{y}_k </math> אותה אפשר לפרש כ[[כפל מטריצות]] של וקטור שורה בווקטור עמודה (האחרון מוצמד על ידי [[צמוד מרוכב]]). לכל מטריצה <math>\ A \in \operatorname{M}_n(\mathbb{C})</math> מתאים אופרטור הכפל <math>\ \vec{z} \mapsto A \vec{z}</math> (ביתר דיוק: A היא ה[[מטריצה מייצגת|מטריצה המייצגת]] של אופרטור הכפל ביחס ל[[הבסיס הסטנדרטי|בסיס הסטנדרטי]]). האופרטור הצמוד מתאים למטריצה <math>A</math> הוא <math>\ A^* = \overline{A^t\mathrm{T}} = \overline{A}^t\mathrm{T}</math> (בכתיב לפי רכיבים: <math> A^*_{ij} = \overline{(A_{ji})}</math> ). כלומר, המטריצה הצמודה מתקבלת מ[[שחלוף (מתמטיקה)|שחלוף]] והפעלת ה[[צמוד מרוכב|צמוד המרוכב]].
 
עבור מטריצות ממשיות, אם כך, מטריצה היא הרמיטית אם ורק אם היא [[מטריצה סימטרית|סימטרית]]. מטריצות סימטריות ממשיות הן לכסינות אורתוגונלית אפילו מעל הממשיים.
== דוגמאות ==
 
# [[פונקציית הזהות|אופרטור הזהות]] <math>\mathrm{id}: \colon \mathbb{H} \to \mathbb{H}</math> הוא אופרטור הרמיטי.
# בפרט, לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> טבעי, [[מטריצת היחידה]] <math>I_n</math> היא מטריצה הרמיטית מעל <math>\mathbb{R}^n</math> ו-<math>\mathbb{C}^n</math> .
# יהי <math>\mathbb{H} = \mathbb{R}^2</math>, אזי כל מטריצה סימטרית <math>A</math> היא אופרטור הרמיטי. שכן,
#:<math> \langle \mathbf{x} , A \mathbf{y} \rangle = \left[ x_1 \ x_2 \right] A \left[ \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \end{matrix} \right] = \left( A^t \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right] \right)^t \left[ \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \end{matrix} \right] = \langle A^t \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = \langle A \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle </math>.
# מעל <math>\mathbb{H} = \mathbb{C}^2 </math> הצמוד ההרמיטי של <math>A = \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right]</math> הוא <math>A^* = \overline{A}^t = \overline{A^t} = \left[ \begin{matrix} \bar{a}_{11} & \bar{a}_{21} \\ \bar{a}_{12} & \bar{a}_{22} \end{matrix} \right]</math>.
# מעל <math>\mathbb{H} = \mathbb{C}^2 </math> [[מטריצות פאולי]] <math> \sigma_x = \left[ \begin{matrixbmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrixbmatrix} \right] \quad , \quad \sigma_y = \left[ \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{matrix} \right] \quad , \quad \sigma_z = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] \quad : </math> הן מטריצות הרמיטיות.
\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \quad
# יהי <math>\mathbb{H} = C^{2}(I) \cap L^2(I)</math> מרחב הפונקציות הממשיות ה[[נגזרת|גזירות]] פעמיים ברציפות ו[[אינטגרל לבג|אינטגרביליות לבג]] בריבוע שמתאפסות בקצות ה[[קטע]] <math>I \subset \mathbb{R}</math>, עם [[מכפלה פנימית]] <math>\langle f , g \rangle = \int_{I} f(x)g(x)\mathrm{d}x</math>, אזי ה[[אופרטור]] <math>\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}</math> ([[נגזרת|גזירה]] פעמיים) הוא אופרטור צמוד לעצמו שכן,
\sigma_z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} </math> הן מטריצות הרמיטיות.
#:<math>\langle \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2} , g \rangle = \int_{I} \left( \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2} \right) g(x) \mathrm{d}x = - \int_{I} \left( \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d}x}
# יהי <math>\mathbb{H} = C^{2}(I) \cap L^2(I)</math> מרחב הפונקציות הממשיות ה[[נגזרת|גזירות]] פעמיים ברציפות ו[[אינטגרל לבג|אינטגרביליות לבג]] בריבוע שמתאפסות בקצות ה[[קטע]] <math>I \subset \mathbb{R}</math>, עם [[מכפלה פנימית]] <math>\langle f , g \rangle = \int_{I} f(x)g(x) \, \mathrm{d}x</math>, אזי ה[[אופרטור]] <math>\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}</math> ([[נגזרת|גזירה]] פעמיים) הוא אופרטור צמוד לעצמו שכן,
\right) \left( \frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d}x} \right) \mathrm{d}x = \int_{I} f(x) \frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2} \mathrm{d}x = \langle f , \frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2} \rangle </math> (השתמשנו פעמיים ב[[אינטגרציה בחלקים]]).
#:<math>\left\langle \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2} , g \right\rangle =
\int_{I} \left( \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2} \right) g(x) \,\mathrm{d}x =
#:<math>- \langleint_{I} \left( \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2} , g \rangle = \int_{I}right) \left( \frac{\mathrm{d}^2 fg}{\mathrm{d}x^2} \right) g(x) \mathrm{d}x = - \int_{I} \left( \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d}x}
\right) \left( \frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d}x} \right) \mathrm{d}x = \int_{I} f(x) \frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2} \,\mathrm{d}x = \left\langle f , \frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2} \right\rangle </math> (השתמשנו פעמיים ב[[אינטגרציה בחלקים]]).
 
== ראו גם ==
4,689

עריכות