משוואה דיפרנציאלית ליניארית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←רדוקציה למשוואה מסדר n: {{נ}} |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
בתורת ה[[משוואה דיפרנציאלית|משוואות הדיפרנציאליות הרגילות]], משפחת ה'''משוואות הלינאריות''' היא משפחה חשובה של משוואות שקיימת עבורה תאוריה מפותחת וטכניקות פתרון שיטתיות, בניגוד
==הגדרה פורמלית==
שורה 27:
===משוואה הומוגנית במקדמים קבועים===
תהא <math>\ y^{(n)}+A_{n-1}y^{(n-1)}+\dots+A_1 y=0</math> משוואה לינארית הומוגנית כאשר כל המקדמים <math>\ A_{n-1},\dots,A_1</math> הם מספרים קבועים. הפתרון <math>\ y=0</math> הוא [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]], ואנו רוצים למצוא פתרונות נוספים. מכיוון שכל המקדמים קבועים, יהיה נוח לחפש פתרון שהוא פונקציה שהשינוי היחיד שהיא עוברת במהלך גזירתה הוא כפל בקבוע. זוהי בדיוק פונקציית ה[[אקספוננט]]: <math>\ y=e^{\lambda x}</math> כאשר <math>\ \lambda </math> הוא קבוע שאנו רוצים למצוא. נשים לב כי <math>\ y^{(k)}=\lambda^k e^{\lambda x}</math>. לכן, לאחר הצבת הפתרון המשוער, נקבל:
:<math>\ \lambda^n e^{\lambda x}+A_{n-1}\lambda^{n-1} e^{\lambda x}+ \dots +A_1\lambda e^{\lambda x}=0</math>.
| |||