מרחב ספרבילי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Bustan1498 (שיחה | תרומות) הרחבה |
Bustan1498 (שיחה | תרומות) סידור, הרחבה |
||
שורה 3:
דוגמה למרחב ספרבילי הוא [[הישר הממשי]], משום שקבוצת [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]] היא קבוצה צפופה (שכן כל קטע פתוח מכיל מספר רציונלי) וקבוצת המספרים הרציונליים היא בת מנייה.
'''משפט:''' כל מרחב שמקיים את [[אקסיומות המנייה|אקסיומת המנייה השנייה]] הוא ספרבילי. זאת מכיוון שבהינתן מרחב טופולוגי <math>X</math> עם בסיס בן מנייה <math>\mathcal{B} = \{B_n\}_{n=1}^\infty</math>, נוכל לבחור באופן שרירותי <math>x_n \in B_n</math> לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> ולעיין בקבוצת כל הנקודות האלו, שנסמנה <math>A = \{x_n\}_{n=1}^\infty</math>. היא כמובן בת מנייה מעצם הגדרתה, ובנוסף <math>\overline{A} = X</math>: בהינתן <math>x \in X</math>, כל איבר בבסיס <math>B_n</math> המכיל אותו חותך את <math>A</math> (מעצם הגדרת <math>A</math>) ולכן <math>x \in \overline{A}</math>.
הכיוון ההפוך של המשפט שלעיל לא נכון: לא כל מרחב ספרבילי הוא מרחב מנייה שנייה. דוגמא לכך היא ה[[הישר של סורגנפריי|ישר של סורגנפריי]] <math>\mathbb{R}_\ell</math> (כלומר הישר הממשי <math>\mathbb{R}</math> עם טופולוגיית הגבול התחתון). שם מתקיים <math>\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}_\ell</math> ולכן <math>\mathbb{R}_\ell</math> ספרבילי, אך ניתן להראות שהוא לא מרחב מנייה שנייה. עם זאת, עם נוסף את הדרישה שהמרחב הוא [[מרחב מטריזבילי|מטריזבילי]], הרי שהטענה נכונה; דהיינו, מרחב מטריזבילי וספרבילי הוא מרחב מנייה שנייה.
עם זאת, כל [[מרחב מטרי]] [[קבוצה קומפקטית|קומפקטי]] הוא ספרבילי (משום שהוא [[מרחב חסום כליל|חסום כליל]]), וכל מרחב מטרי ספרבילי מקיים את אקסיומת המנייה השנייה. דוגמה למרחב שהוא לא ספרבילי: ה[[מספר סודר|מספר הסודר]] הראשון שאיננו בן מנייה עם [[טופולוגיית סדר]].▼
▲
מכפלה של עד (כולל) [[עוצמת הרצף]] מרחבים ספירבילים (עם [[טופולוגיית המכפלה]]) היא ספירבילית. לעומת זאת, מכפלה של יותר מעוצמת הרצף מרחבים לא טריוויאלים איננה ספירבילית.
| |||