הבדלים בין גרסאות בדף "חבורה (מבנה אלגברי)"

מ
שוחזר מעריכות של 79.182.59.53 (שיחה) לעריכה האחרונה של KotzBot
תגיות: עריכה חזותית החלפה שוחזרה
מ (שוחזר מעריכות של 79.182.59.53 (שיחה) לעריכה האחרונה של KotzBot)
 
{{סימון מתמטי}}
מאיר הומו
 
ב[[מתמטיקה]], '''חבורה''' (Group) היא [[מבנה אלגברי]] המורכב מ[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] ו[[פעולה בינארית]] [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבית]].
 
החבורות הופיעו במחקר המתמטי במהלך [[המאה ה-19]], במסגרת הניסיונות לפתור משוואות [[פולינום|פולינומיות]] ממעלה גבוהה, כדוגמת הפתרונות ל[[משוואה ממעלה שלישית]] ו[[משוואה ממעלה רביעית|רביעית]] שהתגלו ב[[המאה ה-16|מאה ה-16]]. החבורות שבהן עסקו החוקרים הראשונים, ובראשם [[אווריסט גלואה|גלואה]], היו חבורות ספציפיות שאיבריהן הם [[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]]. מאוחר יותר ניסח [[ארתור קיילי]] את מערכת ה[[אקסיומה|אקסיומות]] המגדירה חבורה באופן מופשט, וייסד בכך את [[תורת החבורות]].
 
לתורת החבורות יש שימושים רבים במתמטיקה עצמה, כאמור, אך גם ב[[פיזיקה]], כמו בחקר מבנה ה[[גביש]]ים וה[[מולקולה|מולקולות]], ובחקר מושג ה[[סימטריה]].
 
==הגדרה==
 
'''חבורה''' <math>G</math> היא [[מבנה אלגברי]] בסיסי הכולל [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] עם [[פעולה בינארית]] <math>\cdot</math> ("[[סגירות (אלגברה)|סגורה]]": לכל <math>a,b\in G</math> מתקיים ש-<math>a \cdot b \in G</math>), אשר מקיימת את התכונות הבאות:
* [[אסוציאטיביות]] (קיבוציות): לכל <math>a,b,c\in G</math> מתקיים ש-<math>a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math>.
* קיום [[איבר יחידה]]: קיים איבר <math>e\in G</math> כך שלכל <math>a\in G</math> מתקיים <math>a\cdot e=e\cdot a=a</math>.
* קיום [[איבר הופכי]]: לכל <math>a\in G</math> קיים <math>b\in G</math> כך ש-<math>a\cdot b=b\cdot a=e</math>.
(מהאקסיומות נובע שיש רק איבר יחידה אחד, ושלכל איבר יש הפכי אחד).
 
[[חבורה אבלית]] (חילופית) היא חבורה שבה מתקיים, בנוסף, תנאי ה[[קומוטטיביות]] (חילופיות) <math>a\cdot b=b\cdot a</math> לכל <math>a,b\in G</math>.
 
== דוגמאות ==
* [[קבוצת המספרים השלמים]] עם פעולת החיבור היא חבורה אבלית הנקראת [[החבורה הציקלית האינסופית]]. זו אינה חבורה ביחס לכפל, משום שיש מספרים שאין להם הפכי שלם.
* [[חבורת סימטריות|קבוצת הסימטריות]] של [[מצולע משוכלל]] (פעולות שיקוף וסיבוב שלא משנות אותו) עם פעולת ה[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] (ביצוע הפעולות בזה אחרי זה). חבורה זו נקראת [[החבורה הדיהדרלית]].
*<math>S_n</math>, [[החבורה הסימטרית|חבורת התמורות]] על <math>n</math> איברים, ביחס לפעולת ההרכבה. זוהי חבורה לא אבלית לכל <math>n>2</math>.
* קבוצת ה[[מטריצה הפיכה|מטריצות ההפיכות]] מסדר <math>n</math>, המסומנת <math>\mbox{GL}_n\mbox{(F)}</math>, היא חבורה ביחס לפעולת ה[[כפל מטריצות|כפל של מטריצות]]. חבורה זו נקראת [[החבורה הליניארית הכללית]].
* חבורת [[שורשי היחידה]] מסדר <math>n</math>, כלומר השורשים המרוכבים של המשוואה <math>z^n = 1</math> עם פעולת ה[[שדה המספרים המרוכבים|כפל של מספרים מרוכבים]]. חבורה זו היא [[חבורה ציקלית]] מ[[סדר של חבורה|סדר]] <math>n</math>. גם [[מעגל היחידה]] ב-<math>\mathbb{C}</math>, כלומר <math>\{z\in\mathbb{C}\ |\ \left|z\right|=1\}</math>, הוא חבורה ביחס לכפל.
 
== קשרים בין חבורות למבנים כלליים יותר ==
{| class="wikitable" style="text-align: center;
|+ מבנים אלגבריים (תחום החבורות)
! שם
! [[סגירות (אלגברה)|סגירות]]
! [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבייות]]
! [[איבר יחידה]]
! [[איבר הופכי]]
! [[פעולה קומוטטיבית|קומוטטביות]]
|-
![[מאגמה (מבנה אלגברי)|מאגמה]]
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: #F1948A | '''לא'''
| style="background: #F1948A| '''לא''' || style="background: #F1948A | '''לא'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''
|-
![[קוואזי-חבורה]]
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: #F1948A| '''לא'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''|| style="background: lime | '''כן'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''
|-
!לולאה
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: #F1948A| '''לא'''
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: lime | '''כן'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''
|-
![[חבורה למחצה]]
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: lime | '''כן'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''|| style="background: #F1948A| '''לא'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''
|-
![[חבורה למחצה#חבורה למחצה הפיכה|חבורה למחצה הפיכה]]
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: lime | '''כן'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''|| style="background: lime | '''כן'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''
|-
![[מונואיד]]
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: lime | '''כן'''
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: #F1948A| '''לא'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''
|-
!חבורה
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: lime | '''כן'''
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: lime | '''כן'''
| style="background: #F1948A| '''לא'''
|-
![[חבורה אבלית]]
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: lime | '''כן'''
| style="background: lime | '''כן''' || style="background: lime | '''כן'''
| style="background: lime | '''כן'''
|-
|}
 
איבר היחידה של חבורה הוא ה[[אידמפוטנט]] היחיד בה. ב[[חבורה למחצה]] יש בדרך כלל אידמפוטנטים רבים, והקשרים ביניהם מאפשרים לבנות במדורג משפחות של חבורות למחצה שיש להן דמיון מסוים לחבורות. למשל, [[חבורה למחצה הפיכה]] היא חבורה למחצה שבה לכל <math>x</math> קיים <math>y</math> יחיד כך ש-<math>xyx=x</math> ו-<math>yxy=y</math>; במקרה זה מסמנים <math>\ x^{-1}=y</math>. בחבורה למחצה סופית <math>S</math>, לכל אידמפוטנט <math>e</math>, קבוצת האיברים המקיימים <math>xx^{-1}=x^{-1}x=e</math> היא תת-החבורה המקסימלית של <math>S</math> ש-<math>e</math> הוא איבר היחידה שלה.
 
ב[[מונואיד]], שהוא חבורה למחצה עם איבר יחידה 1, אפשר לדרוש שאיבר <math>a</math> יהיה "הפיך מימין" (קיים <math>b</math> כך ש-<math>ab=1</math>) או "הפיך משמאל" (קיים <math>b</math> כך ש-<math>ba=1</math>). איבר <math>a</math> שהוא הפיך גם מימין וגם משמאל הוא הפיך, כלומר, קיים <math>b</math> המקיים בו-זמנית <math>ab=ba=1</math>. בכל מונואיד, אוסף האיברים ההפיכים סגור לכפל (בגלל התכונה <math>(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}</math>), והוא מהווה לכן חבורה. אם כל איבר של המונואיד הוא הפיך משמאל, אז כולם הפיכים, והמונואיד הוא חבורה. לעומת זאת קיימים מונואידים שאינם חבורות שבהם לכל <math>a</math> קיימים <math>x,y</math> כך ש-<math>xay=1</math>. מונואיד שבו מהשוויון <math>ax=ay</math> תמיד נובע <math>x=y</math>, נקרא "מונואיד עם צמצום משמאל"; כל מונואיד הניתן לשיכון בחבורה הוא בעל צמצום (מימין ומשמאל), אבל ההפך אינו נכון. מונואיד סופי עם צמצום משמאל הוא חבורה.
 
==תת-חבורות==
 
תת-קבוצה של חבורה <math>G</math> המהווה בעצמה חבורה (ביחס לאותה פעולה בינארית אסוציאטיבית ולאותו איבר יחידה), נקראת '''תת-חבורה'''. כל תת-קבוצה הכוללת יחד עם כל איבר את ההפכי שלו, ויחד עם כל שני איברים את מכפלתם, היא תת-חבורה. ה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] של תת-חבורות הוא תמיד תת-חבורה. כל תת-חבורה <math>H</math> מחלקת את החבורה למחלקות שקילות, הנקראות [[קוסט]]ים, בשני אופנים: מימין, המחלקות הן מהצורה <math>gH = \{gh: h\in H\}</math>, ומשמאל, המחלקות הן מהצורה <math>Hg = \{hg: h\in H\}</math>. מספר האיברים בכל מחלקה (ימנית או שמאלית) שווה למספר האיברים בתת-החבורה, ומכאן נובע [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']]: ה[[סדר של חבורה|סדר]] של תת-חבורה של חבורה סופית, מחלק את הסדר של החבורה. מספר המחלקות (השמאליות או הימניות) של תת-חבורה נקרא ה'''אינדקס''' של תת-החבורה ומסומן <math>[G:H]</math>. כאשר החבורות סופיות מתקיים <math>[G:H]=\frac{|G|}{|H|}</math>.
 
מהסדר של חבורה (סופית) אפשר להסיק רבות על המבנה שלה. בין המשפטים הבסיסיים בכיוון זה אפשר למנות את [[משפט קושי (תורת החבורות)|משפט קושי]] על קיומם של איברים בעלי סדר ראשוני, ואת [[משפטי סילו]] על קיומן של תת-חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני.
 
בין תת-החבורות, חשובות במיוחד תת-החבורות ה[[תת חבורה נורמלית|נורמליות]], שהן תת-חבורות הכוללות, יחד עם כל איבר, את כל האיברים הצמודים לו. במלים אחרות, תת-חבורה <math>H</math> היא תת-חבורה נורמלית של <math>G</math> אם לכל <math>g\in G</math> מתקיים <math>gHg^{-1}\sub H</math>; לכן <math>gH=Hg</math> לכל <math>g</math>. מכאן נובע שהמחלקות הימניות והשמאליות של תת-חבורה נורמלית שוות זו לזו. על אוסף המחלקות ביחס לתת-חבורה נורמלית <math>H</math> אפשר להגדיר פעולת כפל, ההופכת אותו לחבורה; חבורה זו נקראת '''חבורת המנה''' של <math>G</math> ביחס ל-<math>H</math>, וגודלה הוא האינדקס של <math>H</math> ב-<math>G</math>. החבורה עצמה, ותת-החבורה הכוללת את איבר היחידה בלבד, הן תמיד נורמליות. חבורה שאין לה תת-חבורות נורמליות אחרות נקראת [[חבורה פשוטה]]. חבורה שאינה פשוטה אפשר לבנות מתת-חבורה נורמלית ומחבורת המנה, באמצעות תהליך הקרוי [[הרחבה של חבורות]]. נורמליות אינה עוברת בתורשה (כלומר, ייתכן ש-<math>N</math> תת-חבורה נורמלית של <math>H</math>, ו-<math>H</math> תת-חבורה נורמלית של <math>G</math>, בעוד ש-<math>N</math> אינה נורמלית ב-<math>G</math>).
 
ה'''מכפלה''' של תת-חבורות מוגדרת לפי הכפלת האיברים, <math>\ H_1 H_2 = \{h_1 h_2 : h_1 \in H_1, h_2 \in H_2\}</math>. זוהי תת-חבורה [[אם ורק אם]] <math>\ H_1 H_2 = H_2 H_1</math>. מכיוון שתת-חבורה נורמלית <math>N</math> מקיימת את הזהות <math>\ xN=Nx</math>, המכפלה שלה עם כל תת-חבורה מהווה תת-חבורה. בפרט, המכפלה של שתי תת-חבורות נורמליות היא תת-חבורה (נורמלית).
 
=== תת-חבורות מיוחדות ===
 
אומרים שאיברים <math>a,b</math> בחבורה '''מתחלפים''', אם <math>ab=ba</math>. אוסף האיברים המתחלפים עם כל אברי החבורה הוא תת-חבורה שלה, הנקראת '''[[מרכז (תורת החבורות)|מֶרְכָּז]]''' <!-- כף קמוצה --> החבורה; את המרכז של <math>G</math> מקובל לסמן ב-<math>Z(G)</math>, על-פי המלה הגרמנית למרכז, Zentrum. המרכז הוא תת-חבורה נורמלית, ובחבורה אבלית הוא שווה לחבורה כולה. יש חבורות, כגון [[החבורה הסימטרית]], שבהן המרכז כולל רק את איבר היחידה. המרכז מוכל בכל תת-חבורה אבלית מקסימלית של החבורה.
 
באופן כללי יותר, לכל תת-חבורה <math>H</math> של חבורה <math>G</math> מסמנים ב-<math>C_G(H)</math> את אוסף האיברים של <math>G</math>, המתחלפים עם כל אברי <math>H</math>. תת-חבורה זו נקראת ה'''מְרַכֵּז''' <!-- ריש פתוחה --> של <math>H</math>. בפרט, <math>Z(G) = C_G(G)</math>. אם <math>H \subseteq H_1</math> שתי תת-חבורות של <math>G</math>, אז <math>C_G(H_1)\subseteq C_G(H)</math>. לכל תת-חבורה מתקיים <math>H \subseteq C_G(C_G(H))</math>, ו-<math>C_G(H)=C_G(C_G(C_G(H)))</math>.
 
באופן דומה, מגדירים את ה'''מנרמל''' של <math>H</math>, כתת-החבורה <math>\{g \in G : gHg^{-1}=H\}</math>. תת-חבורה זו מכילה את <math>H</math>, והיא תת-החבורה הגדולה ביותר של <math>G</math> שבה <math>H</math> נורמלית.
 
ראו גם: [[תת חבורת הקומוטטורים]], [[סדרת הרכב]].
 
== יוצרים ויחסים ==
{{ערך מורחב|ייצוג של חבורה}}
קבוצה <math>S</math> של איברים בחבורה <math>G</math> היא '''קבוצת יוצרים''' של <math>G</math>, אם תת-החבורה הקטנה ביותר המכילה את <math>S</math> היא <math>G</math> עצמה. חבורה שיש לה קבוצת יוצרים ובה איבר יחיד, נקראת [[חבורה ציקלית]]; כל [[חבורה נוצרת סופית]] היא [[קבוצה בת מנייה|בת מנייה]].
 
היוצרים של חבורה יכולים לקיים ביניהם '''יחסים'''; למשל, חבורת התמורות של שלושה עצמים נוצרת על ידי התמורות <math>\sigma = (123), \tau=(12)</math>, המקיימות את היחסים <math>\sigma^3 = \tau^2 = (\sigma\tau)^2 =1</math>. חבורה שבין היוצרים שלה אין יחסים כלל נקראת [[חבורה חופשית]]; כל חבורה היא [[חבורת מנה]] של חבורה חופשית.
 
חבורה חופשית גדלה בקצב מעריכי. חבורות אינסופיות אחרות עשויות להציג פונקציות גידול מורכבות יותר. אם <math>X</math> קבוצת יוצרים סופית, מסמנים ב-<math>B_X(n)</math> את קבוצת האיברים שאפשר להציג כמכפלה של לכל היותר <math>n</math> איברים של <math>B</math>. המספר <math>\lim \sqrt[n]{|B_X(n)|}</math> הוא '''קצב הגידול''' של החבורה (ביחס ל-<math>X</math>). מבחינים בשלוש מחלקות של חבורות: אלו שיש להן קבוצת יוצרים שקצב הגידול ביחס אליה הוא 1; אלו שאין להן קבוצה כזו, אבל האינפימום של קצבי הגידול הוא 1; ואלו שבהן ה[[אינפימום]] של קצבי הגידול הוא 1. ב[[חבורה אמנבילית|חבורה לא אמנבילית]] קצב הגידול ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית גדול מ-1.
 
==פעולות יסודיות ואיברים צמודים==
 
לחבורות יש מעמד מרכזי במתמטיקה בגלל היכולת שלהן [[פעולת חבורה|לפעול]] על קבוצות שונות. כמעט בכל מקרה, אוסף הפונקציות ההפיכות ממרחב נתון אל עצמו, השומרות על תכונות מסוימות של המרחב, מהווה חבורה. פעולה של חבורה על קבוצה <math>X</math> מציגה את אברי החבורה כפונקציות הפיכות מן הקבוצה <math>X</math> לעצמה, וכך מאפשרת לחקור תכונות מעניינות של <math>X</math> מחד, ולנתח ביתר קלות את המבנה של החבורה, מאידך.
 
כל חבורה פועלת על עצמה בשתי דרכים חשובות: על ידי פעולת הכפל (משמאל או מימין), ועל ידי פעולת ה[[הצמדה (תורת החבורות)|הצמדה]]. פעולת הכפל משמאל מוגדרת באופן שאיבר <math>x</math> שולח את האיבר <math>y</math> לאיבר <math>xy</math>. בדרך זו הופך האיבר <math>x</math> ל[[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] על אברי החבורה, וכך מתקבלת הוכחה של [[משפט קיילי]]: כל חבורה היא תת-חבורה של חבורת תמורות. בפעולת ההצמדה, האיבר <math>x</math> שולח את <math>y</math> ל-<math>xyx^{-1}</math>; פעולה זו מחלקת את החבורה <math>G</math> ל[[מחלקת שקילות|מחלקות שקילות]] מן הצורה <math>\{xyx^{-1}: x\in G\}</math>, הקרויות "מחלקות צמידות". פעולת ההצמדה היא גם [[אוטומורפיזם]] של החבורה עצמה, ולכן היא יוצרת [[הצגה (מתמטיקה)|הצגה]] של החבורה, כתת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של עצמה. הצגה זו היא נאמנה [[אם ורק אם]] לחבורה יש [[מרכז (תורת החבורות)|מרכז]] טריוויאלי.
 
== ראו גם ==
* [[מונואיד]]
* [[אלגברת חבורה]]
* [[חבורה טופולוגית]]
* [[חבורה אלגברית]]
* [[חבורה ציקלית]]
 
==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{וידאו}} [https://youtu.be/mvmuCPvRoWQ Euler's formula with introductory group theory] - סרטון [[הנפשה]]
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
 
{{אלגברה מופשטת}}
 
[[קטגוריה:מבנים אלגבריים]]
[[קטגוריה:תורת החבורות]]
28,617

עריכות