אקסיומות המנייה – הבדלי גרסאות

==בסיס ובסיס מקומי של טופולוגיה==
 
'מרחב טופולוגי' כולל שני מרכיבים: מרחב, ואוסף של תת-קבוצות שלו, הנקראות 'קבוצות פתוחות'. כדי לחסוך בתיאור אוסף הקבוצות הפתוחות, אפשר להסתפק בתיאור של בסיס: אוסף של קבוצות פתוחות הוא [[בסיס לטופולוגיה|בסיס]] לטופולוגיה הנתונה, אם כל קבוצה פתוחה מהווה [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] של קבוצות מן הבסיס; במלים אחרות, סביב כל נקודה בכל קבוצה פתוחה <math>U</math>, קיימת קבוצה מן הבסיס הכוללת את הנקודה ומוכלת בקבוצה. אוסף של קבוצות פתוחות הוא [[בסיס (טופולוגיה)#בסיס מקומי|בסיס מקומי]] בנקודה <math>p</math>, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את p מכילה קבוצה מן האוסף המכילה את <math>p</math>.
מכאן יוצא שאוסף קבוצות פתוחות הוא בסיס אם ורק אם הוא בסיס מקומי בכל נקודה.
 
==אקסיומות המנייה==
 
מרחב טופולוגי מקיים את '''אקסיומת המנייה הראשונה''' אם לכל נקודה שלו יש בסיס מקומי בן מנייה. תכונה זו, הנקראת גם "תכונת <math>\ C_{I}</math>", מתקיימת בכל מרחב מטרי (הכדורים ברדיוס <math>\ 1/n</math> סביב נקודה מהווים בסיס מקומי), ולכן אפשר לראות בה תנאי ל"התנהגות מטרית" באופן מקומי. קיומו של בסיס בן מניה מאפשר לסדר את אברי הבסיס, ולבנות סדרות בעלות תכונות שונות באינדוקציה.
 
המרחב מקיים את '''אקסיומת המנייה השנייה''' אם יש לו [[בסיס (טופולוגיה)|בסיס]] [[קבוצה בת מנייה|בן מנייה]]. תכונה זו מסמנים גם ב-<math>\ C_{II}</math>.
 
כל מרחב <math>\ C_{II}</math> הוא בפרט <math>\ C_{I}</math> (כדי לקבל בסיס מקומי סביב <math>\,p</math>, מספיק לבחור את אותם איברים שלאיברי הבסיס המכילים את <math>\,p</math>). מרחב מטרי [[מרחב חסום כליל|חסום כליל]] הוא <math>\ C_{II}</math>.
 
לאלה אפשר להוסיף תכונה קרובה:
* מרחב טופולוגי הוא מרחב '''ספרבילי''', אם יש בו [[קבוצה צפופה]] בת מנייה.
כל מרחב <math>\ C_{II}</math> הוא ספרבילי (כדי לקבל קבוצה צפופה בת מנייה מספיק לבחור נקודה אחת מכל קבוצה בבסיס). במרחב מטרי גם ההפך נכון, דהיינו, כל מרחב ספרבילי הוא <math>\ C_{II}</math>.
 
נזכיר שמרחב [[קומפקטיות|קומפקטי]] הוא מרחב שבו לכל כיסוי קיים תת-כיסוי סופי. יש שתי תכונות חלשות יותר: [[מרחב לינדלף|תכונת לינדלוףלינדלף]] קובעת שלכל כיסוי יש תת-כיסוי בן מנייה, ולעומתה '''קומפקטיות מנייתית''' היא הדרישה שלכל כיסוי בן מנייה יש תת-כיסוי סופי (ביחד הן כמובן שקולות לקומפקטיות). בנוסף לזה, מרחב קומפקטי בו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת נקרא לפעמים '''קומפקטי סדרתית'''. במרחב מטרי קומפקטיות סדרתית שקולה לקומפקטיות.
 
מרחב <math>\ C_{I}</math> הוא קומפקטי מנייתית אם ורק אם הוא קומפקטי סדרתית (ועל כן זה נכון בפרט במרחב מטרי).
 
כל מרחב <math>\ C_{II}</math> מקיים את [[תכונת לינדלוף]]לינדלף (זוהי [[הלמה של לינדלף]]). במרחב מטרי גם הכיוון ההפוך נכון: תכונת לינדלוף גוררת <math>\ C_{II}</math>.
 
המשפט המרכזי על מרחבי <math>\ C_{II}</math> הוא [[משפט המטריזציה של אוריסון]], שלפיו מרחב כזה, המקיים גם את [[מרחב T3|תכונת ההפרדה T3]], הוא מטריזבילי.
 
==לקריאה נוספת==
4,916

עריכות