ויקיפדיה

גאומטריה אנליטית – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Matanyabot (שיחה | תרומות)
475,756 עריכות
מ בוט החלפות: גאומטרי
Bustan1498 (שיחה | תרומות)
5,536 עריכות
סידור
שורה 5:
 
==גאומטריה אנליטית במישור==
ב'''גאומטריה האנליטית''' של המישור (הבנויה על [[מערכת צירים קרטזית]]) מיוצגת כל נקודה על ידי [[זוג סדור]] של [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]], כאשר בערכם המוחלט, האחד מציין את המרחק (האנכי) של הנקודה מציר ה-Y<math>y</math> והשני את המרחק של הנקודה מציר ה-X<math>x</math>. <br>החוזק של הגאומטריה האנליטית ביחס ל[[גאומטריה אוקלידית|גאומטריה האוקלידית]], הוא באפשרות לתאר מושגים גאומטריים על ידי משוואות ופונקציות, ובכך לאפשר פתרון אלגברי לבעיה הגאומטרית.
החוזק של הגאומטריה האנליטית ביחס ל[[גאומטריה אוקלידית|גאומטריה האוקלידית]], הוא באפשרות לתאר מושגים גאומטריים על ידי משוואות ופונקציות, ובכך לאפשר פתרון אלגברי לבעיה הגאומטרית.
===מרחק בין נקודות===
בבסיס התחום נמצאת הגדרת המרחק בין שתי נקודות, שמוגדרת לפי [[משפט פיתגורס]]:
שורה 13 ⟵ 12:
=== קווים ישרים ===
'''[[ישר|קו ישר]]''' מוגדר להיות אוסף הנקודות שמקיימות משוואה מהצורה:
: <math>\ Ax+By=C</math>.
כאשר <math>\ A=B=0</math> המשוואה מגדירה את כל המישור או אף נקודה, ולא קו ישר במובן הרגיל של המילה.
 
כאשר <math>\ B \ne 0</math> ניתן להציג את הקו הישר על ידי משוואה מהצורה <math>\ y=mx+n</math>. משוואה זו נקראת '''המשוואה הקנונית של הישר''' (או המשוואה המפורשת של הישר). המספר <math>m</math> שבמשוואה נקרא '''שיפוע הישר''', והוא מייצג את מספר היחידות שהישר עובר בציר ה־Yה־<math>y</math> עבור כל יחידת אורך שהוא עובר בציר ה־Xה־<math>x</math>. ישרים בעלי שיפוע זהה הם [[ישרים מקבילים]]. שיפוע הישר המקביל לציר ה־Xה־<math>x</math> הוא <math>0</math>, ושיפוע הישר המקביל לציר ה־Yה־<math>y</math> אינו מוגדר ואי אפשר לייצג אותו באמצעות משוואה זו. המספר <math>n</math> שבמשוואה הוא ערך ה-Y<math>y</math> בנקודת חיתוך הישר עם ציר ה־Yה־<math>y</math>.
 
המשוואה המפורשת של הישר היא יחידה – כלומר, אם נתונות שתי משוואות שונות, הן בהכרח מייצגות שני ישרים שונים, ולהפך. לעומת זאת, לכל ישר קיימות אינסוף משוואות רגילות המתארות אותו, כיוון שניתן להכפיל את המשוואה של ישר נתון בכל [[מספר ממשי]] שאינו [[0 (מספר)|אפס]] והמשוואה תוסיף ותתאר את אותו הישר.
 
===מרחק בין ישרים מקבילים===
(B>0)בהינתן ישרשני מבוקשישרים :מקבילים <math>\ell_i : Ax+By+C1C_i = 0</math>, <math>i=1,2</math>, המרחק ביניהם הוא
 
<math>d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}</math>.
<math display="inline">\ (+-)d=(C1-C2)/ \sqrt{ (A^2 +B^2)}</math>.המרחק שלילי כאשר ישר מבוקש נמצא מעל הישר השני
===מרחק בין ישר לנקודה===
(B>0) ישר : <math>\ Ax+By+C=0</math>
נקודה : <math>\ (xo,yo)</math>
<math display="inline">\ (+-)d=(Axo+Byo+C)/ \sqrt{ (A^2 +B^2)}</math>.המרחק שלילי כאשר הישר נמצא מעל הנקודה.
 
אם נדאג לכך ש-<math>B > 0</math>, אם <math>\ell_2</math> מעל <math>\ell_1</math> נוכל להשמיט את הערך המוחלט, ואם אם <math>\ell_2</math> מתחת ל-<math>\ell_1</math> נוכל לשים במקומו מינוס.
 
===[[מרחק נקודה מישר|מרחק בין נקודה לישר]]===
בהינתן ישר <math>\ell : Ax+By+C = 0</math> ונקודה <math>(x_0,y_0)</math> המרחק ביניהם הוא
 
<math>d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{A^2 + B^2}</math>.
 
אם הנקודה מעל הישר נוכל להשמיט את הערך המוחלט, ואם הנקודה מתחת לישר נוכל לשים במקומו מינוס.
===מעגלים===
ה[[מעגל]] לפי הגדרתו הגאומטרית, הוא אוסף כל הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת שווה למספר חיובי קבוע - [[רדיוס]] המעגל. הנקודה המסוימת נקראת מרכז המעגל. משוואתו של מעגל מוגדרת כך:
: <math>\ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2</math> כאשר מרכז המעגל הוא הנקודה <math>\ (a,b)</math> ורדיוסו <math>\ R</math>.
כאשר מרכז המעגל נמצא בראשית הצירים - הנקודה <math>\ (0,0)</math>, משוואת המעגל מקבלת את הצורה:
: <math>\ x^2 + y^2 = R^2 </math>
מעגל כזה נקרא '''מעגל קנוני''', וקל לראות שניתן ליצור ממנו כל מעגל על ידי הזזה. כאשר רדיוס המעגל הקנוני הוא <math>1</math>, המעגל נקרא '''[[מעגל היחידה]]'''. דרך נוחה להצגה פרמטרית של [[מעגל היחידה]] היא על ידי הנוסחה:
: <math>\ (\cos t, \sin t)</math> עבור <math>t \in [ 0 , 2\pi ]</math>.
קיימות נוסחאות דומות גם ל[[חתכי חרוט]] אחרים ([[פרבולה]], [[היפרבולה]] ו[[אליפסה]]).
 
== הכללה למרחב ה-<math>n</math> ממדי ==
במרחב n-ממדי, מיוצגת כל נקודה על ידי [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] <math>n</math>-ממדי מעל המספרים הממשיים. [[מישור (גאומטריה)|מישור]] עילי במרחב <math>n</math>-ממדי מוגדר על ידי כל הנקודות המיוצגות על ידי קומבינציות ליניאריות של (<math>n-1)</math> וקטורים [[תלות ליניארית|בלתי תלויים]], המייצגים נקודות באותו מרחב. קו ישר מיוצג על ידי קבוצת כל [[צירוף ליניארי|הקומבינציות הליניאריות]] של שתי נקודות שונות ומישור (במרחב תלת-ממדי) על ידי כל הקומבינציות הליניאריות של שלוש נקודות שאינן על ישר אחד.
 
==משמעות מודרנית==
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/גאומטריה_אנליטית"