הבדלים בין גרסאות בדף "רציפות (פילוסופיה)"

===התמודדות עם מושג הרציפות במתמטיקה של העת העתיקה===
רעיון הרציפות הופיע כבר בתחילת הפילוסופיה היוונית, אצל הפילוסוף [[אנכסגורס]], אולם ההתמודדות העיקרית איתו נערכה על ידי מתמטיקאים. עם זאת, בעת העתיקה לא הייתה הבחנה ברורה בין מדע ופילוסופיה.<br />
[[האסכולה הפיתגוראית]] פיתחה תורה שלמה סביב מספרים במאה החמישית לפני הספירה. כמו כן האמינו הפיתגוראים כי המתמטיקה שלהם מתארת את העולם או שהיא זהה עם העולם. באותה עת, עסקו הפיתגוראים רק במספרים הנקראים כיום [[מספרים רציונליים]], כלומר [[מספרים טבעיים]] (...1,2,3) או מספרים הניתנים לביטוי כמנה של מספרים טבעיים (...1/2, 1/4). הפיתגוראים נקלעו למבוכה כאשר ניסו לחשב את אורך היתר של משולש ישר זווית שאורך צלעותיו הניצבות 1 ו-1. אורך היתר במשולש זה הינו 2√. מספר זה אינו ניתן להצגה כמנה של שני מספרים טבעיים. הפיתגוראים החליטו להתעלם ממספרים אלו, הנקראים כיום [[מספרים אי רציונליים]]. בכך, למעשה, התעלמו מבעיית הרציפות.<br />
אמנם מספרים רציונאליים מייצגים רציפות (בין כל מספר רציונלי אחד לחברו ישנו עוד מספר רציונאלי), אולם מספרים אי רציונאלים מייצגים רציפות "צפופה" עוד יותר (ראה [[צפיפות]]). בתורת הקבוצות נאמר שלקבוצת המספרים האי רציונאליים יש [[עוצמה]] חזקה יותר מאשר לקבוצת המספרים הרציונאליים. לכן ניתן לאמר שמספרים אי רציונאליים מבטאים ביתר שאת את הקושי האינטואיטיבי הטמון ברציפות.
 
הפילוסוף [[זנון]], הציג התמודדות מעמיקה יותר עם הרציפות. מטרתו היתה להוכיח את הטענה של רבו, [[פרמנידס]], כי לא קיימת כלל חלוקה בעולם. לצורך כך ניסה זנון להראות באמצעות [[הפרדוקסים של זנון|פרדוקסים]] כי גם חלוקה אטומית (בדידה) וגם חלוקה אינסופית (רציפות) מביאות לסתירות לוגיות. מנקודת מבט מודרנית, ניתן לסייג ולאמר כי זנון הראה כי שתי צורות החלוקה הללו גורמות לקשיים אינטואיטיביים (בניגוד לסתירות לוגיות).
 
טענתו של זנון כנגד הרציפות היתה כי כאשר מחלקים קו לאינסוף, יכולות להתקבל שתי תוצאות: האחת, שהקו מורכב מגדלים מאוד קטנים. השניה, שהקו אינו מורכב מגדלים כלל. אם הקו מורכב מגדלים כלשהם, הרי שהוא לא רציף, אלא אטומי (בדיד). אם הקו אינו מורכב מגדלים כלל, אז כיצד הוא קיים? למרות שהפרדוקסים של זנון זכו לפתרונות מתמטיים כעבור כ-2,500 שנה, הקושי האינטואיטיבי נותר בעינו עד היום.: כיצד יתכן שאוסף נקודות חסרות גודל יוצר קו בעל גודל? כיצד יתכן שיש מספרים שעצם הגדרתם היא תהליך אינסופי?
 
למרות הקושי האינטואיטיבי, כבר בתקופה זו פיתח [[ארכימדס]] חישוב המשתמש בחלוקה אינסופית, על מנת לחשב את שטחו של עיגול. ארכימדס הניח כי העיגול מכיל אינסוף משולשים צרים לאינסוף, ולכן אפשר לחשב את שטחו על בסיס הנוסחה לחישוב שטחו של משולש. נוסחהארכימדס זו עובדת היטבהניח, אם כיכך, כיוםשניתן אנולעבוד יודעיםעם שישהמושג להכניס"קטן בתוכהעד [[מספראינסוף", איאולם רציונלי]]טרם בשםהיו [[פאי]],בידיו שלאהכלים היההמתמטיים ידועלהגדיר לארכימדסזאת.
 
===התמודדות עם מושג הרציפות במתמטיקה של העת החדשה===
228

עריכות