הבדלים בין גרסאות בדף "רציפות (פילוסופיה)"

===התמודדות עם מושג הרציפות במתמטיקה של העת החדשה===
בסוף המאה ה-17 וראשית המאה ה-18, המשיכו [[לייבניץ]] ו[[ניוטון]] את דרכו של ארכימדס ופיתחו חשבון המסוגל לחשב, בין היתר, את שטחן של צורות עקומות: [[חשבון אינפיניטסימלי]]. גם כאן נדרשה חלוקה אינסופית. הפעם הציב החישוב גם קשיים לוגיים. במהלך החישוב הופיע מושג ה[[אינפיניטסימל]] - "גודל קטן לאין סוף", שדרך ההתייחסות אליו הייתה כפולה: בראשית החישוב התייחסו אליו כגדול מאפס, ובהמשך החישוב התייחסו אליו כשווה ממש לאפס.<br />
בתקופה זו עדיין היה קשר חזק יחסית בין המתמטיקה לפילוסופיה. למשל: ניוטון, ובעיקר לייבניץ התייחסו בכתביהם למושג הרציפות האינטואיטיבי. לייבניץ ניסה להסביר מדוע לדעתו קיימת רציפות בטבע, כפי שהיא קיימת במתמטיקה. הפילוסוף [[ברקלי]] ביקר את שיטותיהם של ניוטון ולייבניץ:<br />
{{ציטוט|תוכן=""אין לכנות את הדבר מדע, כאשר אתה מגשש כסומא בארובה ומגיע אל האמת מבלי לדעת כיצד, ובאילו אמצעים... המחבר הדגול של שיטת הפלוקציות [ניוטון] חש בקושי הזה, ולפיכך הכניס בהן מידה הגונה של הפשטה ושל מטפיזיקה גיאומטרית... הוא השתמש בפלוקציות כדרך שמשתמשים בפיגום של בניין, שלבסוף מסולק או נפטרים ממנו..."
|מקור=תולדות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, האוניברסיטה הפתוחה, 1978, עמ' 18}}
הקושי הלוגי שהתעורר בחשבון האינפיניטסימלי גרם למתמטיקאים לעבור מעיסוק בגאומטריה לעיסוק בהגדרות לוגיות ובתורת המספרים.<br />
הפתרון העיקרי שניתן בתחום החשבון האינפיניטסימלי היה החלפת המושג "גודל קטן עד אין סוף" במושג [[גבול (מתמטיקה)|גבול]]. מושג הגבול מביע את אותו רעיון המופיע במושג "גודל קטן עד אין סוף", אולם ניסוחו המתמטי אינו יוצר קשיים לוגיים.
 
הפתרון העיקרי שניתן לקשיים הלוגיים שיוצריםלהגדרת המספרים האי רציונליים, היה פיתוחה של [[תורת הקבוצות]]. באמצעות[[קאנטור]] תורהפיתח זומושגים הגדירוושיטות המתמטיקאיםשבהן אתאין "תהליך אינסופי" (אינסוף פוטנציאלי) אלא [[שדהקבוצות המספרים הממשייםאינסופיות]] (אינסוף אקטואלי). בצורה זו ניתן להגדיר בכלים סופיים מהו מספר אי רציונאלי.
 
פתרונות אלו (ורבים אחרים) מאפשרים למתמטיקה המודרנית לעבוד עם גדלים אינסופיים. עם זאת, יש לצייןהטוענים שנותרו קשיים לוגיים עד היום במתמטיקה, בעיקר בגלל העבודה עם גדלים אינסופיים. כמו(בנושא כןזה, הקשייםראה האינטואיטיבייםאת לאספרו נפתרושל ארנון אברון, אלא"משפטי הפכוגדל לנחלתהובעיית שליסודות הפילוסופיההמתמטיקה").<br />
 
כמו כן, פתרונות אלו עקפו את השאלות העמוקות בדבר אפשרות חלוקתו האינסופית של הרצף, וטיבם של גדלים קטנים לאינסוף. שאלות אלה הופרדו מן המתמטיקה והוכרזו כעניין לפסיכולוגיה, או לפילוסופיה, שאין לו נגיעה בעבודת המתמטיקאי. אך למעשה, רעיונות אלה נותרו חבויים באקסיומות שעליהן נשענים מושגי המספר והגבול.<br />
מאחר והמתמטיקה נפרדה מן הפילוסופיה, המתמטיקאים אינם עוסקים בשאלות כגון: "כיצד ניתן לתפוס שאוסף נקודות חסרות גודל יוצרות קו בעל גודל?" או "כיצד ניתן לתפוס תהליך אינסופי?"
 
==האם הטבע הוא רציף?==
228

עריכות