רציפות (פילוסופיה) – הבדלי גרסאות

רעיון הרציפות הופיע כבר בתחילת הפילוסופיהה[[פילוסופיה יוונית|פילוסופיה היוונית]], אצל הפילוסוףה[[פילוסוף]] [[אנכסגורס]], אולם ההתמודדות העיקרית איתו נערכה על ידי מתמטיקאים[[מתמטיקאי]]ם. עם זאת, בעת העתיקה לא הייתה הבחנה ברורה בין [[מדע]] ופילוסופיהו[[פילוסופיה]].<br />

[[האסכולה הפיתגוראית]] פיתחה תורה שלמה סביב מספרים[[מספר]]ים במאה החמישית לפני הספירה. כמו כןהפיתגוראים האמינו הפיתגוראים כי המתמטיקה שלהם מתארת את העולם או שהיא זהה עם העולם. באותה עת, עסקו הפיתגוראים רק במספרים הנקראים כיום [[מספרים טבעיים]] (...1,2,3). לכן המספרים נתפסו בעיניהם כבדידים. גם כאשר עסקו בשברים, לא הרחיבו את העיסוק לשברים מסובכים. כיום אנו יודעים שהישרש[[הישר הממשי]] (המכיל מספרים טבעיים, רציונאליים[[מספר ואירציונלי|רציונליים]] רציונאלייםו[[מספר אי רציונלי|אירציונליים]]), הוא התגלמותה האינטואיטיבי של הרציפות. הפיתגוראים נקלעו למבוכה כאשר ניסו לחשב את אורך היתרה[[יתר]] של [[משולש ישר זווית]] שאורך צלעותיוכל הניצבותאחת 1מניצביו הוא ו-1. אורך היתר במשולש זה הינוהוא 2√. מספר זה אינו טבעי ואף אינו רציונאלירציונלי (אינו ניתן להצגה כמנה של שני מספרים טבעיים). הפיתגוראים החליטו להתעלם ממספרים אלו, הנקראים כיום [[מספרים אי רציונליים]]. <br />

הפילוסוף [[זנון מאלאה|זנון]], הציג התמודדות מעמיקה יותר עם הרציפות. מטרתו היתה להוכיח את הטענה של רבו, [[פרמנידס]], כי לא קיימת כלל חלוקה בעולם. לצורך כך ניסה זנון להראות באמצעות [[הפרדוקסים של זנון|פרדוקסים]] כי גם חלוקה אטומית (בדידה) וגם חלוקה אינסופית (רציפות) מביאות לסתירות לוגיות. מנקודת מבט מודרנית, ניתן לסייג ולאמר כי זנון הראה כי שתי צורות החלוקה הללו גורמות לקשיים אינטואיטיביים (בניגוד לסתירות לוגיות).

טענתו של זנון כנגד הרציפות היתההייתה כי כאשר מחלקים קו לאינסוף, יכולות להתקבל שתי תוצאות: האחת, שהקו מורכב מגדלים מאוד קטנים. השניה, שהקו אינו מורכב מגדלים כלל. אם הקו מורכב מגדלים כלשהם, הרי שהוא לא רציף, אלא אטומי (בדיד). אם הקו אינו מורכב מגדלים כלל, אז כיצד הוא קיים? למרות שהפרדוקסים של זנון זכו לפתרונות מתמטיים כעבור כ-2,500 שנה, הקושי האינטואיטיבי נותר בעינו עד היום: כיצד יתכן שאוסף נקודות חסרות גודל יוצר קו בעל גודל? כיצד יתכן שיש מספרים שעצם הגדרתם היא תהליך אינסופי?

למרות הקושי האינטואיטיבי, כבר בתקופה זו פיתח [[ארכימדס]] חישוב המשתמש בחלוקה אינסופית, על מנת לחשב את שטחו שלשטח ה[[עיגול]]. ארכימדס הניח כי העיגול מכיל אינסוף משולשים צרים לאינסוף, ולכן אפשר לחשב את שטחו על בסיס הנוסחה לחישוב שטחו של משולש. ארכימדס הניח, אם כך, שניתן לעבוד עם המושג "קטן עד אינסוף", אולם טרם היו בידיו הכלים המתמטיים להגדיר זאת.

בסוף [[המאה ה-17]] וראשית [[המאה ה-18,]] המשיכו [[לייבניץ]] ו[[ניוטון]] את דרכו של ארכימדס ופיתחו חשבון המסוגל לחשב, בין היתר, את שטחן[[שטח]]ן של צורות עקומות: [[חשבון אינפיניטסימלי]]. גם כאן נדרשה חלוקה אינסופית. הפעם הציב החישוב גם קשיים לוגיים. במהלך החישוב הופיע מושג ה[[אינפיניטסימל]] - "גודל קטן לאין סוף", שדרך ההתייחסות אליו הייתה כפולה: בראשית החישוב התייחסו אליו כגדול מאפס, ובהמשך החישוב התייחסו אליו כשווה ממש לאפס.<br />

בתקופה זו עדיין היה קשר חזק יחסית בין המתמטיקה לפילוסופיה. למשל: ניוטון, ובעיקר לייבניץ, התייחסו בכתביהם למושג הרציפות האינטואיטיבי. לייבניץ ניסה להסביר מדוע לדעתו קיימת רציפות בטבע, כפי שהיא קיימת במתמטיקה. הפילוסוף [[ברקלי]] ביקר את שיטותיהם של ניוטון ולייבניץ:<br />

|מקור=תולדות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, [[האוניברסיטה הפתוחה]], 1978, עמ' 18}}

הפתרון העיקרי שניתן בתחום החשבון האינפיניטסימלי היה החלפת המושג "גודל קטן עד אין סוף" במושג [[גבול (מתמטיקה)|גבול]]. מושג הגבול מביע את אותו רעיוןהרעיון המופיע במושג "גודל קטן עד אין סוף", אולם ניסוחו המתמטי אינו יוצר קשיים לוגיים.

הפתרון העיקרי שניתן להגדרת המספרים האי רציונלייםהאירציונליים, היה פיתוחה של [[תורת הקבוצות]]. [[קנטור]] פיתח מושגים ושיטות שבהן אין "תהליך אינסופי" (אינסוף פוטנציאלי) אלא [[קבוצות אינסופיות]] (אינסוף אקטואלי). בצורה זו ניתן להגדיר בכלים סופיים מהו מספר אי רציונאליאירציונאלי.

פתרונות אלו מאפשרים למתמטיקה המודרנית לעבוד עם גדלים אינסופיים. עם זאת, יש הטוענים שנותרו קשיים לוגיים עד היום במתמטיקה, בעיקר בגלל העבודה עם גדלים אינסופיים (בנושא זה, ראה אתראו ספרו של ארנון אברון, "משפטי גדל ובעיית יסודות המתמטיקה").<br />

כמו כן, פתרונות אלו עקפו את השאלות העמוקות בדבר אפשרות חלוקתו האינסופית של הרצף, וטיבם של גדלים קטנים לאינסוף. שאלות אלה הופרדו מן המתמטיקה והוכרזו כעניין לפסיכולוגיה, או לפילוסופיה, שאין לו נגיעה בעבודת המתמטיקאי. אך למעשה, רעיונות אלה נותרו חבויים באקסיומותב[[אקסיומה|אקסיומות]] שעליהן נשענים מושגי המספר והגבול.<br />