הבדלים בין גרסאות בדף "רציפות (פילוסופיה)"

מ
אין תקציר עריכה
מ (סוף הגהה)
מ
רעיון הרציפות הופיע כבר בתחילת ה[[פילוסופיה יוונית|פילוסופיה היוונית]], אצל ה[[פילוסוף]] [[אנכסגורס]], אולם ההתמודדות העיקרית איתו נערכה על ידי [[מתמטיקאי]]ם. עם זאת, בעת העתיקה לא הייתה הבחנה ברורה בין [[מדע]] ו[[פילוסופיה]].
[[האסכולה הפיתגוראית]] פיתחה תורה שלמה סביב [[מספר]]ים במאה החמישית לפני הספירה. הפיתגוראים האמינו כי המתמטיקה שלהם מתארת את העולם או שהיא זהה עם העולם. באותה עת, עסקו הפיתגוראים רק במספרים הנקראים כיום [[מספרים טבעיים]] (...1,2,3). לכן המספרים נתפסו בעיניהם כבדידים. גם כאשר עסקו בשברים, לא הרחיבו את העיסוק לשברים מסובכים. כיום אנו יודעים ש[[הישר הממשי]] (המכיל מספרים טבעיים, [[מספר רציונלי|רציונליים]] ו[[מספר אי רציונליאירציונלי|אירציונליים]]), הוא התגלמותה של הרציפות. הפיתגוראים נקלעו למבוכה כאשר ניסו לחשב את אורך ה[[יתר]] של [[משולש ישר זווית]] שאורך כל אחת מניצביו הוא 1. אורך היתר במשולש זה הוא 2√. מספר זה אינו טבעי ואף אינו רציונלי (אינו ניתן להצגה כמנה של שני מספרים טבעיים). הפיתגוראים החליטו להתעלם ממספרים אלו, הנקראים כיום [[מספרים אי רציונלייםאירציונליים]].
 
הפילוסוף [[זנון מאלאה|זנון]] הציג התמודדות מעמיקה יותר עם הרציפות. מטרתו היתה להוכיח את הטענה של רבו, [[פרמנידס]], כי לא קיימת כלל חלוקה בעולם. לצורך כך ניסה זנון להראות באמצעות [[הפרדוקסים של זנון|פרדוקסים]] כי גם חלוקה אטומית (בדידה) וגם חלוקה אינסופית (רציפות) מביאות לסתירות לוגיות. מנקודת מבט מודרנית, ניתן לסייג ולאמר כי זנון הראה כי שתי צורות החלוקה הללו גורמות לקשיים אינטואיטיביים (בניגוד לסתירות לוגיות).
הפתרון העיקרי שניתן בתחום החשבון האינפיניטסימלי היה החלפת המושג "גודל קטן עד אין סוף" במושג [[גבול (מתמטיקה)|גבול]]. מושג הגבול מביע את הרעיון המופיע במושג "גודל קטן עד אין סוף", אולם ניסוחו המתמטי אינו יוצר קשיים לוגיים.
 
הפתרון העיקרי שניתן להגדרת המספרים האירציונליים, היה פיתוחה של [[תורת הקבוצות]]. [[גיאורג קנטור|קנטור]] פיתח מושגים ושיטות שבהן אין "תהליך אינסופי" (אינסוף פוטנציאלי) אלא [[קבוצה אינסופית|קבוצות אינסופיות]] (אינסוף אקטואלי). בצורה זו ניתן להגדיר בכלים סופיים מהו מספר אירציונאליאירציונלי.
 
פתרונות אלו מאפשרים למתמטיקה המודרנית לעבוד עם גדלים אינסופיים. עם זאת, יש הטוענים שנותרו קשיים לוגיים עד היום במתמטיקה, בעיקר בגלל העבודה עם גדלים אינסופיים (בנושא זה, ראו ספרו של ארנון אברון, "משפטי גדל ובעיית יסודות המתמטיקה").