מישור (גאומטריה) – הבדלי גרסאות

החלפות (, ), הסרת קישורים עודפים
מ (מיותר)
(החלפות (, ), הסרת קישורים עודפים)
 
בהינתן מישור, ניתן להשליך עליו [[מערכת צירים קרטזית]] כדי להיות מסוגלים לציין כל [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] במישור בעזרת שני ערכים - הקוארדינטות של הנקודה. ניתן לעשות דבר דומה עם [[מערכת צירים קוטבית]], שבה כל נקודה מזוהה על ידי שני ערכים - זווית ומרחק מהמרכז.
 
המישור שבו עוסקת הגאומטריה נקרא [[מרחב אוקלידי|המישור האוקלידי]] והוא מקרה פרטי של [[מרחב מכפלה פנימית]] [[מספר ממשי|ממשי]], ונהוג לסמנו <math>\mathbb{R}^2 = \left\{ (x,y) \mid x,y \in \mathbb{R} \right\}</math>. המכפלה הפנימית היא [[מכפלה סקלרית|המכפלה הסקלרית]]: <math>\langle \mathbf{x}_1 , \mathbf{x}_2 \rangle = \langle (x_1,y_1),(x_2,y_2) \rangle := (x_1,y_1) \bullet (x_2,y_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2</math>. המישור האוקלידי הוא גם [[מרחב טופולוגי]] ובפרט [[מרחב מטרי]] עם ה[[מטריקה]] המושרית מהמכפלה הפנימית <math>d(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \sqrt{ \langle \mathbf{u}-\mathbf{v}, \mathbf{u}-\mathbf{v} \rangle } = </math>.
 
== הצגות של מישור במרחב התלת-ממדי ==
 
=== הצגה אלגברית ===
במערכת צירים תלת ממדית x-y-z, אפשר להגדיר מישור כמקום הגאומטרי של כל פתרונות המשוואה
: <math>\ ax+by+cz+d=0</math>,
כאשר <math>\ a</math>, <math>\ b</math>, <math>\ c</math> ו-<math>\ d</math> הם [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] ולא כל המקדמים שווים לאפס. אפשר לכתוב גם <math>\ \mathbf{n}\cdot\mathbf{x} +d = 0</math>, כאשר <math>\ \mathbf{n} </math> הוא הווקטור <math>\mathbf{n} = (a,b,c)</math> (שלמעשה מהווה ה[[נורמל]] של המישור) ו-<math>\ \mathbf{x} </math> הוא הווקטור <math>\ (x,y,z)</math>. אם <math>\mathbf{x}_0 = (x_0,y_0,z_0)</math> היא נקודה על המישור ניתן להציגו על ידי המשוואה <math>\mathbf{n} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)=0</math> או בכתיב מפורש לפי [[קואורדינטות]]:
: <math>S = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid a \cdot (x-x_0) + b \cdot (y-y_0) + c \cdot (z-z_0) = 0 \right\}</math>.
המישור <math>S</math> הוא [[תת-מרחב וקטורי]] אם ורק אם הוא עובר דרך הראשית (כלומר: <math>\boldsymbol{0}=(0,0,0)</math> הוא פתרון של מערכת המשוואות המגדירה את המישור).
 
===הצגה פרמטרית===
[[קובץ:PlaneR.jpg|שמאל|ממוזער|250px|ב[[צירוף ליניארי|הצגה פרמטרית]] מגדירים מישור באמצעות [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] על המישור ו[[צירוףוצירוף ליניארי]] של שני [[וקטור (אלגברה)|וקטור]]ים [[קבוצה פורשת|הפורשים את המישור]]]]
אפשר לתאר מישור גם באופן פרמטרי (הגדרה כזאת טובה לכל מרחב n ממדי) כקבוצת כל הנקודות מהמשוואה <math>\ \mathbf{x}=\mathbf{u}+t\mathbf{v}+s\mathbf{w} </math> כש-<math>\ t</math> ו-<math>\ s</math> הם [[סקלר (מתמטיקה)|סקלרים]] היכולים לקבל את כל ערכי הממשיים, <math>\ \mathbf{u} </math> הוא [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] הקובע נקודה על המישור, ו-<math>\ \mathbf{v} </math> ו-<math>\ \mathbf{w} </math> הם וקטורים הפורשים את המישור (בתנאי שאין סקלר <math>\ r</math> המקיים <math>\ r\mathbf{w}=\mathbf{v} </math>, כי אחרת המשוואה תתאר [[ישר]] ולא מישור).
 
בכל מרחב אוקלידי:
* דרך שלוש [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] שאינן על [[ישר]] אחד - עובר{{הערה|כאן ולהלן, הכוונה בקביעה "מישור x עובר דרך הישר y" היא ש"כל נקודה השייכת לישר y, שייכת גם למישור x" כלומר "הישר y [[הכלה (תורת הקבוצות)|מוכל]] במישור x".}} מישור אחד ויחיד;
* דרך ישר ונקודה שאינה עליו - עובר מישור אחד ויחיד;
* דרך שני ישרים הנחתכים בנקודה או ה[[ישרים מקבילים|מקבילים]] זה לזה - עובר מישור אחד ויחיד;
 
נוסף לזה, במרחב האוקלידי התלת-ממדי:
* עבור כל ישר, וכל נקודה מחוץ לישר- יש מישור אחד ויחיד העובר דרך הנקודה ומאונך לישר.
במרחב תלת ממדי, ישר שאינו מקביל למישור נתון חותך את המישור הזה בנקודה אחת. שני מישורים יכולים להיות מקבילים זה לזה או [[חיתוך (גאומטריה)|לחתוך]] זה את זה בישר. הזווית בין שני המישורים נקראת [[זווית דו-מישור]].