התפלגות פואסון – הבדלי גרסאות

פרמטרים=<math>\ \lambda \in (0,\infty)</math>|

תומך= <math>\ k \in \{0,1,2,\ldots\}</math>|

תוחלת=<math>\ \lambda</math>|

סטיית תקן = <math>\ \sqrt{\lambda}</math>|

שונות=<math>\ \lambda</math>|

ב[[תורת ההסתברות]], '''התפלגות פואסון''' (Poisson distribution) היא [[התפלגות]] של [[משתנה מקרי]] בדיד, הקרויה על שם המדען ה[[צרפת]]י [[סימאון דני פואסון]] (1781-18401781–1840).

כמו התפלגויות חשובות אחרות, 'התפלגות פואסון' היא למעשה משפחה של התפלגויות בעלת פרמטר אחד, ה"קצב", המסומן בדרך כלל באות <math>\ \lambda</math>. הפרמטר יכול לקבל כל ערך [[מספר ממשי|ממשי]] חיובי.

הנוסחה מתארת את הסיכוי שיקרו k אירועים בזמן שפרופורציוני ל-<math>\ \lambda</math>.

התפלגות פואסון מתקבלת מ[[התפלגות בינומית]] כאשר המכפלה של מספר ה[[ניסוי]]ים בסיכויי ההצלחה בכל ניסוי נשארת קבועה (ושווה ל- <math>\ \lambda</math>), ומספר הניסויים [[שואף לאינסוף]]. המשמעותניתן שללפרש את הפרמטר <math>\ \lambda</math> הוא מספרכמספר המאורעות הממוצע המתרחש לכל דגימה. קירוב זה נקרא '''חוק המספרים הקטנים'''. הקירוב הזה מתיישב עם העובדה שה[[תוחלת]] וה[[שונות]] של משתנה מקרי פואסוני שוות שתיהן ל-<math>\ \lambda</math>.

מאידך, כאשר <math>\ \lambda\rightarrow \infty</math>, ההתפלגות של <math>\ \frac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}}</math> מתקרבת להתפלגות הנורמלית הסטנדרטית ([[משפט הגבול המרכזי]]).

התפלגות פואסונית מתאימה לתיאור מספר התופעות המתרחשות בפרק זמן מסוים, כאשר ההסתברות להתרחשות התופעה בפרק זמן קצרצר היא קבועה.

הכלכלן [[לדיסלב פון בורטקייביץ']] {{אנ|Ladislaus von Bortkiewicz}}, שהיה פרופסור בברלין בשנים 1901-19311901–1931, הוא אחד הראשונים שהבינו את החשיבות המעשית של התפלגות פואסון. בספרו "חוק המספרים הקטנים" הוא נתן דוגמאות (מקבריות) רבות, שאחת הידועות שבהן היא ההתפלגות של מספר החיילים בגדוד של חיל הפרשים ה[[פרוסיה|פרוסי]] שנהרגו בשנה מבעיטת סוס.{{הערה|1=Laws of Small Numbers: Extreme and Rare events; Falk, Husler and Reiss, 2004.}}

* מספר הטצה[[טאצ'דאון|טאצ'דאונים]] בסופרבולב[[סופרבול]] האמריקאי.

==הקשר בין התפלגות פואסון להתפלגות בינומיתהבינומית==

נקבע פרמטר <math>\ \lambda</math>. לכל <math>\ n</math> טבעי נביט בהתפלגות הבינומית של מספר ההצלחות ב-<math>\ n</math> ניסויים בעלי הסתברות הצלחה <math>\ \frac{\lambda}{n}</math>, כלומר ההתפלגות <math>\ X\sim \mathrm{Bin}\left(n,\frac{\lambda}{n}\right)</math>. נראה ש-<math>\ \lim_{n\to\infty}P(X=k)=P(Y=k)</math> כאשר <math>\ Y\sim \mathrm{Poiss}(\lambda)</math>.

אכן, <math>\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!n^k} =1</math> משום שזו מנה של פולינומים ב-n; <math>\lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda\over n}\right)^{n}=e^{-\lambda}</math> לפי תכונות ידועות של הקבוע [[e (קבוע מתמטי)|e]], ו-<math>\lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda\over n}\right)^{-k}=1</math> כי החזקה אינה תלויה ב-<math>\ n</math>, והביטוי שבתוך הסוגריים שואף ל-1. לכן<math display="block">\begin{aligned}

<math>\lim_{n\to\infty} P(X=k) &=\lim_{n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \\

&=\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k} \\
&= \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},
\end{aligned}</math>, וזושהיא ההסתברות שמשתנה פואסוני עם תוחלת <math>\ \lambda</math> יקבל את הערך k.

* '''[[פונקציה אדיטיבית|חיבוריות]]''' - – סכום של משתנים מקריים [[אי תלות (הסתברותסטטיסטיקה)|בלתי תלויים]] המתפלגים פואסונית אף הוא משתנה פואסון, והפרמטר שלו הוא סכום הפרמטרים של המשתנים המקריים המחוברים.
**למשל' עבור שני משתנים, אם <math>\ Y\sim \mathrm{Poiss}(\lambda_2)</math> וגם <math>\ X\sim \mathrm{Poiss}(\lambda_1)</math> ובנוסף <math>X,Y</math> בלתי תלויים, אז <math>X + Y \sim \mathrm{Poiss}(\lambda_1+\lambda_2)</math>.
**באופן כללי, אם <math>\{X_i\}</math> קבוצה של <math>N</math> משתנים בלתי תלויים, ולכל <math>i</math>, מתקיים כי <math>X_i\sim \mathrm{Poiss}(\lambda_i)</math>, אז מתקיים: <math>\sum_{i=1}^NX_i\sim \mathrm{Poiss}\left(\sum_{i=1}^N\lambda_i\right)</math>.