הבדלים בין גרסאות בדף "חבורה (מבנה אלגברי)"

מ
בוט החלפות: \1מילים
מ (שוחזר מעריכות של 79.182.59.53 (שיחה) לעריכה האחרונה של KotzBot)
מ (בוט החלפות: \1מילים)
מהסדר של חבורה (סופית) אפשר להסיק רבות על המבנה שלה. בין המשפטים הבסיסיים בכיוון זה אפשר למנות את [[משפט קושי (תורת החבורות)|משפט קושי]] על קיומם של איברים בעלי סדר ראשוני, ואת [[משפטי סילו]] על קיומן של תת-חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני.
 
בין תת-החבורות, חשובות במיוחד תת-החבורות ה[[תת חבורה נורמלית|נורמליות]], שהן תת-חבורות הכוללות, יחד עם כל איבר, את כל האיברים הצמודים לו. במליםבמילים אחרות, תת-חבורה <math>H</math> היא תת-חבורה נורמלית של <math>G</math> אם לכל <math>g\in G</math> מתקיים <math>gHg^{-1}\sub H</math>; לכן <math>gH=Hg</math> לכל <math>g</math>. מכאן נובע שהמחלקות הימניות והשמאליות של תת-חבורה נורמלית שוות זו לזו. על אוסף המחלקות ביחס לתת-חבורה נורמלית <math>H</math> אפשר להגדיר פעולת כפל, ההופכת אותו לחבורה; חבורה זו נקראת '''חבורת המנה''' של <math>G</math> ביחס ל-<math>H</math>, וגודלה הוא האינדקס של <math>H</math> ב-<math>G</math>. החבורה עצמה, ותת-החבורה הכוללת את איבר היחידה בלבד, הן תמיד נורמליות. חבורה שאין לה תת-חבורות נורמליות אחרות נקראת [[חבורה פשוטה]]. חבורה שאינה פשוטה אפשר לבנות מתת-חבורה נורמלית ומחבורת המנה, באמצעות תהליך הקרוי [[הרחבה של חבורות]]. נורמליות אינה עוברת בתורשה (כלומר, ייתכן ש-<math>N</math> תת-חבורה נורמלית של <math>H</math>, ו-<math>H</math> תת-חבורה נורמלית של <math>G</math>, בעוד ש-<math>N</math> אינה נורמלית ב-<math>G</math>).
 
ה'''מכפלה''' של תת-חבורות מוגדרת לפי הכפלת האיברים, <math>\ H_1 H_2 = \{h_1 h_2 : h_1 \in H_1, h_2 \in H_2\}</math>. זוהי תת-חבורה [[אם ורק אם]] <math>\ H_1 H_2 = H_2 H_1</math>. מכיוון שתת-חבורה נורמלית <math>N</math> מקיימת את הזהות <math>\ xN=Nx</math>, המכפלה שלה עם כל תת-חבורה מהווה תת-חבורה. בפרט, המכפלה של שתי תת-חבורות נורמליות היא תת-חבורה (נורמלית).