הרחבת שדות – הבדלי גרסאות

נניח ש-<math>\ K=F(a)</math>, כלומר, תת-השדה הקטן ביותר של K המכיל את <math>\,F</math> ואת a הוא K עצמו. אפשר להגדיר [[הומומורפיזם של חוגים|הומומורפיזם]] מחוג הפולינומים <math>\ F[\lambda]</math> לשדה K, על ידי הצבה: <math>\ f(\lambda)\mapsto f(a)</math>. תמונת ההומומורפיזם היא תת-חוג של שדה, ולכן היא [[תחום שלמות]]. מכאן נובע שה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] של ההומומורפיזם הוא [[אידיאל ראשוני]]. יש שתי אפשרויות: ייתכן שהגרעין שווה לאפס; כלומר, הומומורפיזם ההצבה הוא שיכון, ואין פולינום המאפס את a; במליםבמילים אחרות, a [[מספר טרנסצנדנטי|טרנסצנדנטי]], ואז התמונה של הומומורפיזם ההצבה היא חוג הפולינומים <math>\ F[a]</math>, שאינו שדה. האפשרות האחרת היא שהגרעין אינו אפס; במקרה זה, מכיוון שחוג הפולינומים הוא [[חוג אוקלידי|אוקלידי]], האידיאל חייב להיות [[אידיאל (אלגברה)|אידיאל]] מקסימלי, והתמונה שלו שווה ל-K. הגרעין נוצר על ידי פולינום אי-פריק f מעל <math>\,F</math>, שהוא '''הפולינום המינימלי''' של a.