ויקיפדיה

כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Bustan1498 (שיחה | תרומות)
5,536 עריכות
Bustan1498 (שיחה | תרומות)
5,536 עריכות
אין תקציר עריכה
שורה 1:
'''כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל''' (הקרוי על שם ה[[מתמטיקאי]] [[גוטפריד וילהלם לייבניץ]]) הוא כלל שימושי ב[[חשבון אינפיניטסימלי]] לגזירת ביטויים מהצורה <math>\int_{a(ty)}^{b(ty)} f(x,ty) \,\mathrm{d}x</math>.
 
==ניסוח הכלל==
תהי <math>f(x,ty)</math> פונקציה מוגדרת במלבן <math>[a,b] \times [\alpha,\beta]</math>, וגזירה ברציפות לפי <math>ty</math> (<math>\frac{\partial f}{\partial ty}</math> קיימת ורציפה). נניח בנוסף שהפונקציות <math>a(ty),b(ty)</math> גזירות בקטע <math>[\alpha,\beta]</math>. אזי
 
<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}ty} \int_{a(ty)}^{b(ty)} f(x,ty) \,\mathrm{d}x
= \int_{a(ty)}^{b(ty)} \frac{\partial f}{\partial ty}(x,ty) \,\mathrm{d}x
+ f(b(ty),ty) b'(ty) - f(a(ty),ty) a'(ty)</math>.
 
'''מקרה פרטי''' ונפוץ של הכלל הוא כאשר הפונקציות <math>a(ty),b(ty)</math> קבועות, כלומר <math>a(ty) \equiv a, b(ty) \equiv b</math>. אז נקבל כי
 
<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}ty} \int_a^b f(x,ty) \,\mathrm{d}x
= \int_a^b \frac{\partial f}{\partial ty}(x,ty) \,\mathrm{d}x</math>.
 
== הוכחת הכלל ==
שורה 18:
<math>G(t) = \int_a^b f(x,t) \,\mathrm{d}x</math>
 
ונטען שהיא רציפה. יהי <math>\varepsilon > 0</math>. כיוון ש-<math>f</math> רציפה בתחום [[קבוצה קומפקטית|קומפקטי]] (מלבן) היא [[פונקציה רציפה במידה שווה|רציפה במידה שווה]] שם. מכאן שקיים <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>d((x_1,t_1y_1),(x_2,t_2y_2)) < \delta</math> אז <math>|f(x_1,t_1y_1)-f(x_2,t_2y_2)| < \varepsilon</math>.
 
יהיו <math>t_1y_1,t_2y_2 \in [\alpha,\beta]</math> המקיימים <math>|t_1y_1-t_2y_2| < \delta</math>. אבל <math>d((x,t_1y_1),(x,t_2y_2)) = |t_1y_1-t_2y_2| < \delta</math> ולכן
 
<math>|G(t_1y_1)-G(t_2y_2)|
= \left| \int_a^b f(x,t_1y_1) \,\mathrm{d}x - \int_a^b f(x,t_2y_2) \,\mathrm{d}x \right|
= \left| \int_a^b (f(x,t_1y_1) - f(x,t_2y_2)) \,\mathrm{d}x \right|
\leq \int_a^b |f(x,t_1y_1)-f(x,t_2y_2)| \,\mathrm{d}x
< \int_a^b \varepsilon \,\mathrm{d}x
= \varepsilon (b-a)</math>.
שורה 34:
 
<math>\Delta G
= G(x,ty+\Delta ty)-G(x,ty)
= \int_a^b f(x,ty+\Delta ty) \,\mathrm{d}x - \int_a^b f(x,ty) \,\mathrm{d}x
= \int_a^b (f(x,ty+\Delta ty) - f(x,ty)) \,\mathrm{d}x</math>.
 
כיוון ש-<math>f</math> רציפה וגזירה לפי <math>ty</math>, נוכל להיעזר ב[[משפט הערך הממוצע של לגראנז'|משפט לגרנז']] ולקבל שקיימת <math>0 < \theta < 1</math> כך ש-<math>f(x,ty+\Delta ty) - f(x,ty) = \frac{\partial f}{\partial ty}(x,ty+\theta \Delta ty) \cdot \Delta ty</math> (זאת כי קיבענו את <math>x</math>). לכן:
 
<math>\frac{\Delta G}{\Delta ty}
= \int_a^b \frac{\partial f}{\partial ty}(x,ty+\theta \Delta ty) \,\mathrm{d}x
= G(ty+\theta \Delta ty)
\xrightarrow{\Delta ty \to 0} G(ty)
= \int_a^b \frac{\partial f}{\partial ty}(x,ty) \,\mathrm{d}x</math>
 
כי <math>G</math> רציפה. כלומר, הראנו כי <math>G'(ty)
= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} ty} \int_a^b f(x,ty) \,\mathrm{d}x
= \int_a^b \frac{\partial f}{\partial ty}(x,ty) \,\mathrm{d}x</math>.
 
'''שלב ב' - הוכחת המקרה הכללי:''' אנו רוצים לחשב את נגזרת הפונקציה
 
<math>F(y) = \int_{a(y)}^{b(y)} f(x,y) \,\mathrm{d}x</math>.
 
לשם כך, נגדיר פונקציה חדשה
 
<math>\phi(s,t,u) = \int_s^t f(x,y) \,\mathrm{d}x</math>
 
ונבחין כי
 
<math>F(y) = \phi(a(y),b(y),y)</math>
 
מ[[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי|המשפט היסודי]] [[נגזרת חלקית|הנגזרות החלקיות]] של <math>\phi</math> לפי <math>s</math> ולפי <math>t</math> הן
 
<math>\frac{\partial \phi}{\partial t}(s,t,u) = f(t,y), \quad
\frac{\partial \phi}{\partial s}(s,t,u) = -f(s,y)</math>
 
ואלו רציפות מההנחה ש-<math>f(x,y)</math> רציפה. בנוסף, מהמקרה הפרטי של המשפט, הנגזרת החלקית של <math>\phi</math> לפי <math>y</math> היא
 
<math>\frac{\partial \phi}{\partial y}(s,t,y) = \int_s^t \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \,\mathrm{d}x</math>
 
וזו פונקציה רציפה מההנחה ש-<math>\frac{\partial f}{\partial y}</math> רציפה. מכיוון שכל הנגזרות החלקיות של <math>\phi</math> קיימות ורציפות, נסיק שהיא [[פונקציה דיפרנציאבילית|דיפרנציאבילית]]. לכן גם <math>F</math> דיפרנציאבילית, ומ[[כלל השרשרת]] מתקיים
 
<math>\begin{align}
F'(y)
&= \frac{\partial \phi}{\partial s}(a(y),b(y),y) \cdot a'(y)
+ \frac{\partial \phi}{\partial t}(a(y),b(y),y) \cdot b'(y)
+ \frac{\partial \phi}{\partial y}(a(y),b(y),t) \\
&= -f(a(y),y) a'(y)+ f(b(y),y) b'(y) + \int_{a(y)}^{b(y)} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \,\mathrm{d}x
\end{align}</math>
 
כנדרש. <math>\blacksquare</math>
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/כלל_לייבניץ_לגזירה_תחת_סימן_האינטגרל"