מרחב דואלי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
עריכת הבסיס הדואלי כך שיכלול את V ואת V* בתוך תגית<math> במקומות הרלוונטיים. -Pat |
אותו התיקון במקומות נוספים, עיצוב |
||
שורה 5:
יהי <math>\ V </math> [[מרחב וקטורי]] מעל השדה <math>\ F</math>. '''המרחב הדואלי של <math>\ V </math>''' הוא המרחב הווקטורי <math>\ V^* </math> שאיבריו הם הפונקציות הליניאריות <math>\ V \to F</math>, כאשר החיבור והכפל בסקלר מוגדרים נקודתית. איבר ב-<math>\ V^* </math> נקרא [[פונקציונל|פונקציונאל ליניארי]].
אם <math>\ V </math>בעל ממד סופי, אז הוא איזומורפי למרחב הדואלי שלו. אחרת, המרחבים אינם איזומורפיים: אם מניחים את [[אקסיומת הבחירה]] (הקובעת שלכל מרחב וקטורי יש בסיס), אז אפשר להציג את <math>\ V </math>כ[[סכום ישר]] של עותקים של שדה הבסיס, בעוד שהמרחב הדואלי הוא [[מכפלה ישרה]] של אותו מספר של עותקים, ולכן הממד שלו גדול יותר.
אפילו כאשר למרחב יש ממד סופי, האיזומורפיזם למרחב הדואלי אינו טבעי, והוא תלוי בבחירת בסיס. אם V הוא [[מרחב מכפלה פנימית]], המצב נוח יותר: ההתאמה <math>\ x \mapsto \varphi_x</math> כאשר <math>\ \varphi_x : y \mapsto (x,y)</math> מהווה שיכון טבעי של V במרחב הדואלי שלו (שהוא איזומורפיזם אם הממד סופי).
| |||