אי-שוויון המשולש – הבדלי גרסאות

עריכה
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
עריכה, הרחבה
עריכה
שורה 1:
{{בעבודה}}
[[קובץ:Triangle inequality.svg|שמאל|250px]]
ב[[מתמטיקה]], '''אי-שוויון המשולש''' הוא אי-שוויון מהצורה <math>\ d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)</math>, כאשר <math>\ d(\cdot,\cdot)</math> היא פונקציית מרחק. אי-השוויון מתאר את העובדה הגאומטרית שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות; בפרט, אורכה של [[צלע (גאומטריה)|צלע]] ב[[משולש]] אינו עולה על סכום אורכי הצלעות האחרות. אי-שוויון המשולש נחשב לתכונה יסודית של כל [[מטריקה|שיטה למדידת מרחק]], ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל [[מרחב מטרי]] או [[מרחב נורמי|נורמי]]. הגרסה החזקה <math>\ d(A,C)\leq \max\{d(A,B),d(B,C)\}</math> נקראת '''אי-שוויון המשולש למטריקות לא ארכימדיות'''.
שורה 9 ⟵ 8:
 
=== הוכחה פורמלית ===
לצורך הוכחת אי השיוויון נשתמש בתכונות <math>\ |a|=|-a|</math> ו- <math>\ a\leq|a|</math>. אם <math>\ x+y \geq 0</math> אז <math>\ |x+y| =x+y\leq |x|+|y|</math>. אחרת, <math>\ x+y<0</math> ומכאן <math>\ |x+y| =-x-y\leq |-x|+|-y|=|x|+|y|</math> ולכן <math>\ |x+y|\leq |x|+|y|</math>. דרך נוספת היא להשתמש בשיוויון <math>\ |a| = \max\{a,-a\}</math>, ואז <math>\ |x+y| = \max\{x+y,-x-y\} \leq \max\{|x|+|y|,|-x|+|-y|\} = \max\{|x|+|y|,|x|+|y|\} = |y|+|x|</math>.
ואז <math>\ |x+y| = \max\{x+y,-x-y\} \leq \max\{|x|+|y|,|-x|+|-y|\} = |y|+|x|</math>.
 
=== המקרה המרוכב ===