מרחב מטרי שלם – הבדלי גרסאות

נוספו 133 בתים ,  לפני 18 שנים
מ
קישור למשפט החיתוך של קנטור
מ (לעת עתה, אני חושב שהערך מתאים יותר לקטגוריה הכללית של טופולוגיה)
מ (קישור למשפט החיתוך של קנטור)
 
ב[[טופולוגיה]], נאמר על [[מרחב מטרי]] שהוא '''שלם''', אם ורק אם כל [[סדרת קושי]] של נקודות מתוכו היא בעלת גבול בו. בצורה אינטואיטיבית, ניתן לומר כי מרחב שלם הוא מרחב שאין בו "חורים": אם יש סדרה של נקודות שהולכות ומתקרבות אחת לשנייה, הן יתקרבו לנקודה אחת מסויימת במרחב. למשל, [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]] לא מהווים מרחב מטרי שלם, שכן ניתן למשל לבנות סדרת קושי שתתכנס ל-<math>\sqrt{2}</math>, אבל מספר זה אינו רציונלי, ועל כן אינו שייך למרחב.
 
תנאי הכרחי ומספיק לכך שמרחב מטרי יהיה שלם מנוסח ב[[משפט החיתוך של קנטור]].
 
כל מרחב מטרי ניתן ל'''השלמה'''. בצורה אינטואיטיבית ניתן לתאר השלמה בתור "מילוי החורים" במרחב, על ידי כך שמוסיפים למרחב את כל הגבולות של כל סדרות הקושי הלא מתכנסות. אחת מהדרכים להגדיר את [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]] היא בדרך זו: מגדירים את המספרים הממשיים בתור ההשלמה של המספרים הרציונליים - כלומר, כל מספר ממשי הוא גבול של סדרת קושי כלשהי של מספרים רציונליים.