תת-חבורת הקומוטטורים – הבדלי גרסאות

ה[[קומוטטור]] של שני איברים <math>g,h</math> בחבורה <math>G</math> הוא האיבר <math>[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}</math>. תת-חבורת הקומוטטורים של <math>G</math> היא החבורה הנוצרת <math>\langle [h,g] | h,g \in G \rangle</math>. את החבורה המתקבלת מסמנים <math>G'</math> או <math>[G,G]</math>. הסימון האחרון רומז שלחבורה יש תפקיד כפול בהגדרת הקומוטטור, מה שמאפשר הכללה: אם <math>A,B</math> תת-חבורות נורמליות של <math>G</math>, אז <math>[A,B]</math> היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים <math>[a,b]</math> עבור <math>a\in A, b\in B</math>; גם זו תת-חבורה נורמלית הןגם של <math>A</math> הןוגם של <math>B</math>.

תת-חבורת הקומוטטורים היא ה[[תת -חבורה נורמלית|תת-חבורה הנורמלית]] הקטנה ביותר כך ש[[חבורת מנה|חבורת המנה]] <math>G/G'</math> היא [[חבורה אבלית|אבלית]]. כלומר, לכל תת-חבורה נורמלית <math>N</math> של <math>G</math>, המנה <math>G/N</math> אבלית אם ורק אם <math>G' \subseteq N</math>. זהו למעשה אפיון שקול לתת-חבורת הקומוטטורים. חבורת המנה <math>G/G'</math> נקראת ה'''אבליזציה''' של <math>G</math>.

מכיוון ש[[הומומורפיזם (אלגברה)#הומומורפיזם בין חבורות|הומומורפיזם]] <math>f : G \to H</math> מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה <math>f(G')\subset H'</math>. בפרט עבור חבורות מנה ביחס להומומורפיזם המנה, ניתן לחשב ש-<math>[A/N,B/N]=[A,B]N/N</math> ובפרט <math>(G/N)'=G'N/N</math>.

פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של <math>G</math>, באינדוקציה: <math>G^{(0)} := G</math>, ולכל <math>n</math>, <math>G^{(n+1)} := [G^{(n)},G^{(n)}]</math>. בפרט מקצרים וכותבים <math>G' = [G,G]</math>, <math>G'' = [G',G']</math> וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז <math>G</math> היא [[חבורה פתירה|פתירה]]. חבורה המקיימת את השוויון

<math>G'=G</math> נקראת '''[[חבורה מושלמת''']]. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של [[החבורה הסימטרית|חבורת התמורות]] <math>S_n</math> היא [[חבורת התמורות הזוגיות]] המתאימה, <math>A_n</math>, בעוד ש-<math>A_n</math> מושלמת לכל <math>5\leq n</math> (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).