משפט קושי (תורת החבורות) – הבדלי גרסאות

*'''מקרה א''' - קיים איבר <math>x\in G</math>, <math>x\not\in Z(G)</math> עבורו <math>p| \mid |Z_x|</math> (לא להתבלבל: <math>Z_x</math> הוא '''הַמְּרַכֵּז''' של <math>x</math> המוגדר: <math>Z_x:=\{g\in G | gx=xg\}</math> ואילו <math>Z(G)</math> הוא [[מרכז של חבורה|מֶרְכַּז הַחֲבוּרָה]] <math>Z(G) : = \{ z\in G | \forall g\in G, zg = gz \} </math>). <math>Z_x\ne G</math> כי <math>x\not\in Z(G)</math> ולכן קיים לפחות איבר אחד בחבורה שאינו ב-<math>Z_x</math> לכן <math>|Z_x|<|G|</math>, הנחנו <math>p| \mid |Z_x|</math>, ולפי הנחת האינדוקציה קיים איבר מסדר <math>p</math> ב-<math>Z_x</math>, אבל זו תת-חבורה של <math>G</math>.

*'''מקרה ב''' - לכל איבר <math>x\in G</math> <math>x\not\in Z(G) </math>, <math>p</math> לא מחלק את <math>|Z_x|</math>. לפי משפט לגראנז' <math>|G|=|Z_x|\cdot [G:Z_x]</math> ומשני הנתונים נובע ש-<math>p| \mid [G:Z_x]</math>. לפי [[משוואת המחלקות]] <math>|G|=|Z(G)|+ \sum_{i=1}^k [G:Z_{x_i}]</math> כש-<math>x_1,...,x_k</math> נציגי [[מחלקת צמידות|מחלקות הצמידות]] שסדרן גדול מ-1, כמובן, <math>x_1,...,x_k</math> אינם איברים ב-<math>Z(G)</math> כי גודל מחלקת הצמידות של איבר במרכז הוא 1. הנחנו <math>p| \mid |G|</math>, הראנו <math>p| \mid \sum_{i=1}^k|[G:Z_{x_i}]|</math> לפי משוואת המחלקות <math>p| \mid |Z(G)|</math>. <math>Z(G)</math> חבורה אבלית לכן לפי המקרה האבלי שהוכחנו בהתחלה, קיים בה איבר מסדר <math>p</math> וסיימנו.