קבוצת החזקה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הסרת תבנית:בריטניקה בערכים כאשר היא רק דף הפניה. ראו שיחת תבנית:בריטניקה (תג)
Bustan1498 (שיחה | תרומות)
←‏תכונות: עריכה
שורה 1:
ב[[תורת הקבוצות]], '''קבוצת החזקה''' של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] נתונה <math>A</math> היא קבוצת כל [[תת קבוצה|תת הקבוצות]] של <math>A</math>, ומסמנים אותה ב- <math> \mathcal{P}(A)</math>. פורמלית <math> \mathcal{P}(A) =\left \{x|xB \subemid AB \rightsubseteq A\}</math>, ולדוגמה: <math> \mathcal{P}\left(\left\{x,y\right\}\right)=\left\{\emptyset,
\left\{x\right\},\left\{y\right\},\left\{x,y\right\}\right\}</math>. במסגרת [[תורת הקבוצות האקסיומטית]], קיומה של קבוצת חזקה נובע ישירות מ[[אקסיומת קבוצת החזקה]].
 
שורה 5:
 
* כל קבוצה מכילה את עצמה ואת [[הקבוצה הריקה]], ועל כן שני אלו הם איברים בקבוצת החזקה.
*ניתן להוכיח כי [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמת]] קבוצת החזקה של [[קבוצה סופית]] כלשהי <math>A</math> שווה ל-<math>2^{|A|}</math> (שתיים ב[[חזקה (מתמטיקה)|חזקת]] עוצמת <math>A</math>), ובניסוח מתמטי: <math> \left|\mathcal{P}(A)\right|=2^{|A|}</math>. בשל תכונה זו עבור קבוצות סופיות, גם כאשר גודל הקבוצה הוא [[אינסוף|אינסופי]], נהוג לסמן את עוצמת קבוצת החזקה של <math>A</math> בסימון <math>2^{|A|}</math>, ויש המסמנים את קבוצת החזקה עצמה ב-<math>2^A</math>.
*קבוצת החזקה של <math>A</math> [[איזומורפיזם|איזומורפית]] לקבוצת ה[[פונקציה מציינת|פונקציות המציינות]]: של תת קבוצות של <math>\lbraceA</math>, היא <math>\{0,1 \rbrace}^A = \lbrace1_x:{f \mid f \colon A \to \lbrace {0,1 \rbrace|x}\}</math> (כל תת קבוצה <math>B \subesubseteq A</math> מתאימה לפונקציה המציינת שלה <math>\rbracemathbf{1}_B \in \{0,1\}^A</math>). ולכןלכן הסימון <math>2^{|A|}</math> לעוצמת קבוצת החזקה עקבי עם כללי האריתמטיקה של עוצמות (שלפיהם <math>2^{|A|}=|\lbrace 0,1 \rbrace^A|</math>). זו המוטיבציה לסימון <math>2^A</math> שיש הנוקטים בו עבור קבוצת החזקה של <math>A</math> ("<math>2</math>" מתאים לקבוצה בת שני האיברים <math>\{0,1\}</math>).
*[[משפט קנטור (לקבוצת החזקה)|משפט קנטור]] מראה כי [[אי-שוויון (מתמטיקה)|אי השוויון]] <math> \left|\mathcal{P}(A)\right|>|A|</math> שפשוט יחסית להוכיחו לקבוצות סופיות, נכון '''לכל''' קבוצה <math>A</math>.