קבוצת החזקה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הסרת תבנית:בריטניקה בערכים כאשר היא רק דף הפניה. ראו שיחת תבנית:בריטניקה (תג) |
Bustan1498 (שיחה | תרומות) ←תכונות: עריכה |
||
שורה 1:
ב[[תורת הקבוצות]], '''קבוצת החזקה''' של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] נתונה <math>A</math> היא קבוצת כל [[תת קבוצה|תת הקבוצות]] של <math>A</math>, ומסמנים אותה ב-
\left\{x\right\},\left\{y\right\},\left\{x,y\right\}\right\}</math>. במסגרת [[תורת הקבוצות האקסיומטית]], קיומה של קבוצת חזקה נובע ישירות מ[[אקסיומת קבוצת החזקה]].
שורה 5:
* כל קבוצה מכילה את עצמה ואת [[הקבוצה הריקה]], ועל כן שני אלו הם איברים בקבוצת החזקה.
*ניתן להוכיח כי [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמת]] קבוצת החזקה של [[קבוצה סופית]] כלשהי <math>A</math> שווה ל-<math>2^{|A|}</math> (שתיים ב[[חזקה (מתמטיקה)|חזקת]] עוצמת <math>A</math>), ובניסוח מתמטי: <math> \left|\mathcal{P}(A)\right|=2^{|A|}</math>. בשל תכונה זו עבור קבוצות סופיות, גם כאשר גודל הקבוצה הוא [[אינסוף|אינסופי]], נהוג לסמן את עוצמת קבוצת החזקה של <math>A</math> בסימון <math>2^{|A|}</math>, ויש המסמנים את קבוצת החזקה עצמה ב-<math>2^A</math>.
*קבוצת החזקה של <math>A</math> [[איזומורפיזם|איזומורפית]] לקבוצת ה[[פונקציה מציינת|פונקציות המציינות]]
*[[משפט קנטור (לקבוצת החזקה)|משפט קנטור]] מראה כי [[אי-שוויון (מתמטיקה)|אי השוויון]] <math> \left|\mathcal{P}(A)\right|>|A|</math> שפשוט יחסית להוכיחו לקבוצות סופיות, נכון '''לכל''' קבוצה <math>A</math>.
|