מספר שלם – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
מ הרחבה קלה תגיות: עריכה חזותית עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד עריכה מתקדמת מהנייד |
||
שורה 125:
מצירוף כל התכונות שצוינו בטבלה (מלבד התכונה האחרונה) נקבל שהמספרים השלמים תחת פעולות החיבור והכפל מהווים [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג חילופי]] עם [[איבר יחידה]] – [[חוג המספרים השלמים]]. מבחינות רבות, המושג חוג הוא [[אלגברה מופשטת|הפשטה אלגברית]] של המספרים השלמים.
מהתכונה שלא קיימים מחלקי אפס נקבל ש[[חוג המספרים השלמים]] הוא [[תחום שלמות]]. ומכך שלא קיימים איברים הפיכים ביחס לכפל - המספרים השלמים לא סגורים תחת חילוק, נקבל שחוג המספרים השלמים איננו [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]. השדה הקטן ביותר שמכיל את המספרים השלמים כתת-חוג הוא [[שדה המספרים הרציונליים]]. תהליך הבנייה של שדה המספרים הרציונליים מתוך חוג המספרים השלמים ניתן לחיקוי לכל [[תחום שלמות]] בכדי ליצור את [[שדה שברים|שדה השברים]] שלו. ולהיפך, מ[[שדה מספרים]] K ניתן לקבל את חוג השלמים של השדה <math>\ {\mathcal O}_K</math>, שיחסו ל-K דומה לזה של חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים (ואמנם <math>(\mathcal{O})_{\mathbb{Q}} = \mathbb{Z}</math>).
אף על פי שהמספרים השלמים אינם סגורים תחת חילוק, ניתן לבצע בהם חלוקה עם שארית.{{הערה|חלוקה עם שארית נקראת לפעמים חלוקה אוקלידית}} כלומר, לכל <math>a \in \mathbb {Z}</math> ולכל <math>0\neq b \in \mathbb {Z}</math>, קיימים <math>q, r \in \mathbb {Z}</math> כך ש-<math>a=qb+r</math> ו-<math>0 \le r < |b|</math>.{{הערה|1=פונקציית הדרגה <math>d(x)=|x|</math> מחזירה עבור כל מספר את ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] שלו}} ולכן [[חוג המספרים השלמים]] הוא [[חוג אוקלידי|אוקלידי]], וכיוון שכל חוג אוקלידי הוא [[תחום ראשי]] נובע שגם המספרים השלמים מהווים חוג שכזה, ולכן לכל מספר קיים פירוק יחיד לגורמים אי-פריקים (במספרים השלמים ההגדרות לאי-פריקות וראשוניות מתלכדות ולכן ניתן גם לומר שלכל מספר קיים [[פירוק לגורמים של מספר שלם|פירוק יחיד לגורמים ראשוניים]]).
| |||