מספר שלם – הבדלי גרסאות

ולכןלכן המספרים השלמים סגורים תחת חיסור וניתן להגדיר חיסור על ידי חיבור של ההופכי לחיבור, כלומר:

בדומה למספרים הטבעיים, המספרים השלמים [[סגירות (אלגברה)|סגורים]] תחת פעולות ה[[חיבור]] וה[[כפל]]. כלומר, חיבור של מספרים שלמים הוא מספר שלם וכפל של מספרים שלמים גם הוא מספר שלם. אבל, בעקבות הקיום של אפס והמספרים השליליים המספרים השלמים סגורים גם תחת פעולת ה[[חיסור]] בשונה מהמספרים הטבעיים.

במונחים של [[אלגברה מופשטת]] ניתן לומר שהמספריםשקבוצת המספרים השלמים <math>\mathbb{Z}</math> יחד עם פעולת החיבור מהווים [[חבורה אבלית]] [[חבורה ציקלית|ציקלית]], כיוון שכל מספר שונה מאפס ניתן לכתוב כסכום <math>1+1+1+ \dots</math> או כ-<math>-1-1-1- \dots</math>. למעשה, קבוצת המספרים השלמים מהוויםמהווה את החבורה הציקלית האינסופית היחידה – כל חבורה ציקלית אינסופית [[איזומורפיזם|איזומורפית]] ל-<math>\mathbb {Z}</math>אליה.

מארבע התכונות הראשונות בטבלה למעלה נקבל שהמספריםשקבוצת המספרים השלמים <math>\mathbb{Z}</math> עם פעולת הכפל מהוויםמהווה [[מונואיד (מבנה אלגברי)|מונואיד]] חילופי (אבלי), וכיוון שלא לכל מספר שלם קיים מספר הופכי שלם נקבל שהמספרים השלמים תחת פעולת הכפל אינם [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]].

מצירוף כל התכונות שצוינו בטבלה (מלבד התכונה האחרונה) נקבל שהמספריםשקבוצת המספרים השלמים <math>\mathbb{Z}</math> תחת פעולות החיבור והכפל מהוויםמהווה [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג חילופי]] עם [[איבר יחידה]] – [[חוג המספרים השלמים]]. מבחינות רבות, המושג חוג הוא [[אלגברה מופשטת|הפשטה אלגברית]] של המספרים השלמים.

מהתכונה שלא קיימים מחלקי אפס נקבל ש[[חוג המספרים השלמים]] <math>\mathbb{Z}</math> הוא [[תחום שלמות]]. ומכך שלא קיימים איברים הפיכים ביחס לכפל - המספרים השלמים לא סגורים תחת חילוק, נקבל שחוג המספרים השלמים איננו [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]. השדה הקטן ביותר שמכיל את המספרים השלמים כתת-חוג הוא [[שדה המספרים הרציונליים]]. תהליך הבנייה של שדה המספרים הרציונליים מתוך חוג המספרים השלמים ניתן לחיקוי לכל [[תחום שלמות]] בכדי ליצור את [[שדה שברים|שדה השברים]] שלו. ובכיוון ההפוך, מ[[שדה מספרים]] <math>K</math> ניתן לקבל את חוג השלמים של השדה <math>\ {\mathcal O}_K</math>, שיחסו ל-<math>K</math> דומה לזה של חוג המספרים השלמים <math>\mathbb{Z}</math> לשדה המספרים הרציונליים <math>\mathbb{Q}</math> (ואמנם <math>(\mathcal{O})_{\mathbb{Q}} = \mathbb{Z}</math>).

אף על פי שהמספרים השלמים אינם סגורים תחת חילוק, ניתן לבצע בהם חלוקה עם שארית.{{הערה|חלוקה עם שארית נקראת לפעמים חלוקה אוקלידית}} כלומר, לכל <math>a \in \mathbb {Z}</math> ולכל <math>0\neq b \in \mathbb {Z}</math>, קיימים <math>q, r \in \mathbb {Z}</math> כך ש-<math>a=qb+r</math> ו-<math>0 \le r < |b|</math>.{{הערה|1=פונקציית הדרגה <math>d(x)=|x|</math> מחזירה עבור כל מספר את ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] שלו}} ולכן [[חוג המספרים השלמים]] <math>\mathbb{Z}</math> הוא [[חוג אוקלידי|אוקלידי]], וכיוון שכל חוג אוקלידי הוא [[תחום ראשי]] נובע שגם קבוצת המספרים השלמים מהוויםמהווה חוג שכזה, ולכןומכיוון לכלשכל תחום ראשי הוא [[תחום פריקות יחידה]] נקבל שלכל מספר שלם קיים פירוק יחיד לגורמים שלמים אי-פריקים (במספרים השלמים ההגדרותהגדרת לאיהאי-פריקות וראשוניותוהגדרת הראשוניות מתלכדות ולכן ניתן גם לומר שלכל מספר קיים [[פירוק לגורמים של מספר שלם|פירוק יחיד לגורמים ראשוניים]]).