שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות

נאמר ששתי סדרות שכאלו שקולות אם ורק אם ההפרש ביניהן שואף לאפס, כלומר הסדרות <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> ו-<math>\{y_n\}_{n=1}^\infty</math> שקולות אם ורק אם לכל <math>\varepsilon>0</math> (רציונלי) קיים <math>N</math> טבעי כך שלכל <math>n>N</math> טבעי מתקיים <math>|x_n-y_n|<\varepsilon</math>.
{{ש}}
ניתן להראותנראה כי הגדרה זו אכן מגדירה [[יחס שקילות]]. [[קבוצת המנה]] (אוסף כל מחלקות השקילות) של יחס שקילות זה תסומן <math>\mathbb{R}</math> - זהו שדה המספרים הממשיים. :
* [[רפלקסיביות]]: לכל סדרה <math>\{x_n\}^\infty_{n=0}</math>, לכל <math>\varepsilon>0</math> ולכל <math>n</math>, <math>|x_n-x_n|=0<\varepsilon</math>.
* [[סימטריות]]: <math>|x_n-y_n|=|y_n-x_n|</math> ולכן אם האחד גדול מ<math>\varepsilon</math> גם השני גדול ממנו.
* [[טרנזיטיביות]]: נשים לב שפירוש הדבר שהסדרות <math>\{x_n\}^\infty_{n=0},\{y_n\}^\infty_{n=0}</math> שקולות הוא ש<math>\lim_{n\to\infty}(x_n-y_n)=0</math>, כלומר <math>\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n</math>. לכן אם <math>\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n</math> וגם <math>\lim_{n\to\infty}y_n=\lim_{n\to\infty}z_n</math> אז <math>\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}z_n</math>, לכן <math>\{x_n\}^\infty_{n=0},\{z_n\}^\infty_{n=0}</math> שקולות.
[[קבוצת המנה]] (אוסף כל מחלקות השקילות) של יחס שקילות זה תסומן <math>\mathbb{R}</math> - זהו שדה המספרים הממשיים.
 
את המספרים הרציונליים נזהה בממשיים על ידי מחלקות השקילות המתאימות, עבור רציונלי <math>q</math> מחלקת השקילות המתאימה היא מחלקת השקילות של הסדרה הקבועה <math>\{q\}_{n=1}^\infty</math>.
882

עריכות