הומומורפיזם – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת תבנית:בריטניקה בקישורים חיצוניים (תג) |
איבר נייטרלי -> איבר יחידה לצורך אחידות תגיות: שוחזרה עריכה חזותית |
||
שורה 3:
== דוגמאות ==
* '''הומומורפיזם בין חבורות''' הוא פונקציה <math> \varphi \colon G \rightarrow H</math> שעבורה <math>\,\! \varphi (g_1\cdot g_2)=\varphi (g_1) \star \varphi (g_2)</math> לכל <math>g_1,g_2 \in G</math>. הכפל באגף שמאל הוא פעולת החבורה של <math>G</math>, ואילו הכפל באגף ימין הוא פעולת החבורה של <math>H</math>. מתכונה זו נובע גם שאיבר היחידה של <math>G</math> עובר
* '''הומומורפיזם בין מרחבים ליניאריים''' נקרא [[העתקה ליניארית]]. זוהי פונקציה מן הווקטורים של מרחב <math>V</math> מעל שדה <math>F</math>, אל הווקטורים של מרחב <math>W</math> מעל אותו שדה, המקיימת שתי אקסיומות: <math>\varphi(v_1+v_2) = \varphi(v_1)+\varphi(v_2)</math> (לכל שני וקטורים <math>v_1,v_2\in V</math>) ו-<math>\varphi(\alpha \cdot v) = \alpha \cdot \varphi(v)</math> (לכל וקטור <math>v\in V</math> וסקלר <math>\alpha \in F</math>). אותן דרישות, בהחלפת השדה <math>F</math> ב[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] כלשהו <math>R</math>, מגדירות הומומורפיזם בין [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]]. גם כאן, אין צורך לדרוש במפורש שהפונקציה מעבירה את איבר האפס של המרחב הראשון אל איבר האפס של השני, משום שזה נובע מן הדרישות האחרות.
* '''הומומורפיזם בין חוגים''' הוא פונקציה <math>\varphi \colon R \rightarrow S</math> (כאשר <math>R, S</math> הם [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] עם יחידה), השומרת על החיבור והכפל, ומעבירה את איבר היחידה של <math>R</math> לאיבר היחידה של <math>S</math>. תכונה אחרונה זו אינה נדרשת מהומומורפיזם של חוגים בלי יחידה, וקיימים הומומורפיזמים כאלה (שאינם שומרים על איבר היחידה) גם בין חוגים עם יחידה. אם ל-<math>R</math> ו-<math>S</math> יש איבר יחידה, ו-<math>S</math> הוא [[תחום שלמות]], או ש-<math>f</math> היא על, אז כל פונקציה השומרת על החיבור והכפל, מעבירה את איבר היחידה לאיבר היחידה.
== הגרעין והתמונה ==
נניח ש-<math>\varphi \colon A \rightarrow B</math> הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים. ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] היא אוסף האיברים <math>\operatorname{im}(\varphi)</math> של <math>B</math> המתקבלים מהפעלת ההומומורפיזם על אברי <math>A</math>. אם יש למבנה איבר נייטרלי מובחן (איבר היחידה של חבורה, האפס של חוג, מרחב וקטורי, או מודול), אוסף הווקטורים <math>\ker(\varphi)</math> של <math>A</math> העוברים אל
בחבורות, לדוגמה, התמונה היא [[תת-חבורה]] של <math>B</math>, ואילו הגרעין הוא [[תת-חבורה נורמלית]] של <math>A</math>.
| |||