שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות

* [[רפלקסיביות]]: לכל סדרה <math>\{x_n\}^\infty_{n=0}</math>, לכל <math>\varepsilon>0</math> ולכל <math>n</math>, מתקיים <math>|x_n-x_n|=0<\varepsilon</math>.
* [[יחס סימטרי|סימטריות]]: <math>|x_n-y_n|=|y_n-x_n|</math> ולכן אם האחד גדול מ-<math>\varepsilon</math> גם השני גדול ממנו.
* [[טרנזיטיביות]]: נשים לב שפירוש הדבר שהסדרותיהו <math>\{x_n\}^\infty_{n=0},\sim\{y_n\}^\infty_{n=0}</math>, שקולות הוא שו- <math>\lim_{y_n\}^\infty_{n=0}\tosim\{z_n\infty}(x_n-y_n)^\infty_{n=0}</math>,. כלומריהי <math>\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_nvarepsilon>0</math>. לכןקיימים אם<math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>\lim_{n\to\infty}>N_1</math> מתקיים <math>|x_n=-y_n|<\lim_{nfrac\to\infty}y_nvarepsilon2</math> וגםולכל <math>\lim_{n>N_2</math> מתקיים <math>|y_n-z_n|<\tofrac\infty}y_nvarepsilon2</math>. נבחר <math>N=\lim_max\{n\toN_1,N_2\infty}z_n</math> אזונקבל לכל <math>\lim_{n\to\infty}>N</math>: <math>|x_n-y_n|=|x_n-y_n+y_n-z_n|\lim_{nle|x_n-y_n|+|y_n-z_n|<\tofrac\infty}z_nvarepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math> (על פי [[אי שוויון המשולש]]), לכן <math>\{x_n\}^\infty_{n=0},\sim\{z_n\}^\infty_{n=0}</math> שקולות.
[[קבוצת המנה]] (אוסף כל מחלקות השקילות) של יחס שקילות זה תסומן <math>\mathbb{R}</math> - זהו שדה המספרים הממשיים.
 
891

עריכות