שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות

{{ש}}
נראה כי הגדרה זו אכן מגדירה [[יחס שקילות]]:
* [[רפלקסיביות]]: לכל סדרה <math>\{x_n\}^\infty_{n=01}</math>, לכל <math>\varepsilon>0</math> ולכל <math>n</math>, מתקיים <math>|x_n-x_n|=0<\varepsilon</math>.
* [[יחס סימטרי|סימטריות]]: <math>|x_n-y_n|=|y_n-x_n|</math> ולכן אם האחד גדול מ-<math>\varepsilon</math> גם השני גדול ממנו.
* [[טרנזיטיביות]]:יהו <math>\{x_n\}^\infty_{n=01}\sim\{y_n\}^\infty_{n=01}</math>, ו- <math>\{y_n\}^\infty_{n=01}\sim\{z_n\}^\infty_{n=01}</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> קיימים <math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>n>N_1</math> מתקיים <math>|x_n-y_n|<\frac\varepsilon2</math> ולכל <math>n>N_2</math> מתקיים <math>|y_n-z_n|<\frac\varepsilon2</math>. נבחר <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math> ונקבל לכל <math>n>N</math>: <math>|x_n-y_n|=|x_n-y_n+y_n-z_n|\le|x_n-y_n|+|y_n-z_n|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math> (על פי [[אי שוויון המשולש]]), לכן <math>\{x_n\}^\infty_{n=01}\sim\{z_n\}^\infty_{n=01}</math>.
[[קבוצת המנה]] (אוסף כל מחלקות השקילות) של יחס שקילות זה תסומן <math>\mathbb{R}</math> - זהו שדה המספרים הממשיים.
 
882

עריכות